2.5. Минимальный многочлен

Пусть f(l) = f₀l^m + f₁l^m-1 + . . . + f_m  — какой-либо скалярный многочлен. С заменой степеней 1 (= l°), l, l², ... скаляра l тензорами соответственно I (=Т°), Т, Т ×Т, ... f(l) превращается в „тензорный многочлен"—линейную комбинацию элементов системы (1) 2.3. Многочлен f(l) называется аннулирующим для данного тензора Т Î E Ä E, если f(Т) = 0. Для каждого Т Î E Ä E одним из аннулирующих является многочлен D(l) = = l³ — J₁l² + J₂l — J₃ — левая часть характеристического урав­нения, поскольку в соответствии со сказанным в 2.3 D(Т) = 0. Аннулирующий многочлен минимальной степени называется минимальным аннулирующим или просто минимальным многочленом для данного Т. Если условиться этот многочлен всегда брать с фиксированным, например равным + 1, коэффициентом при старшей степени аргумента, то для каждого Т Î E Ä E он определяется единственным образом.

Нетрудно видеть также, что для каждого Т Î E Ä E:

а) степень минимального многочлена £dim E = 3;

б) многочлен E Ä E является аннулирующим тогда и только тогда, когда каждый корень уравнения А (Х) = 0 есть "корень (хотя, возможно, другой кратности) и уравнения D(l) = 0.

В самом деле, для любого Т Î E Ä E существует аннулирующий многочлен степени dim E, а именно D(l), откуда и имеем а). Это предложение равносильно рассматривавшемуся в 2.3, по которому число измерений подпространства в E Ä E, натянутого на систему (1) 2.3, не превышает dim E.

Если, далее, f(l) — аннулирующий многочлен для Т, то в силу f (Т) = 0 будет sp(f (T)) = 0. С помощью этого равенства и выражений (4), (9) и (10) 2.3 нетрудно проверить, что каждый корень характеристического уравнения для Т является корнем и уравнения f(l) = 0. Обратно, если каждый корень уравнения D(l) = (l — l₁)( l — l₂) (l — l₃) = 0 есть корень и уравнения f (l) = 0, то D(l) = (l - l₁ (l - l2) (l - l₃) f₀(l) = D(l) f₀(l), и потому f(Т) = D (Т)f₀(Т) = 0, т. е. многочлен f(l) является аннулирующим для Т.

Заметим, что вследствие предложений а) и б) для минимального многочлена p(l) никаких других (не совпадающих с корнями уравнения D(l) = 0) корней заведомо не существует. Поэтому степень многочлена р(l) определяется числом одинаковых среди корней характеристического уравнения. Именно:

1) если для данного Т Î E Ä E все эти корни различны (l₁ ¹ l₂, l₂ ¹ l₃, l₃ ¹ l₁), то p(l) º D(l), т. е. минимальный многочлен совпадает с характеристическим;

2) если хотя бы два из чисел l₁, l₂, l₃ одинаковы, то р(l) — многочлен   степени   £ dim E — 1 = 2.   Действительно, пусть, например,   l₂ = l₈,   тогда из D(l) = (l — l₁) (l — l₂)( l —l₃) = 0 вытекает (l —l₁)( l — l₂) = 0,  и  на  основании  предложения б) многочлен   (l — l₁) (l — l₂) = l² — (l₁ + l₂)l + l₁l₂ является аннулирующим (Т × Т — (l₁ + l₂)T + l₁l₂I = 0). С помощью выражений (9) 2.3 отсюда

                        T × T – 1/3 (2J₁ – (J₁ – 3J₂)^1/2)T + 1/9 (6J₂ – J₁² – J₁(J₁² – 3J₂)^1/2)I = 0                             (1)

(совпадая с предыдущим при l₂ = l₃, равенство (1) справедливо и при l₁ = l₂ или l₃ = l₁). Если уравнение D(l) = 0 имеет только два одинаковых корня, то многочлен p(l) для данного Т в точности второй степени и p(Т) = 0 равносильно (1). В результате в этом случае Т и I заведомо линейно независимы, в то время как с помощью (1) тензоры Т × Т, Т × Т × Т и т. д. представляются линейными комбинациями тензоров Т и I, т. е. подпространство в E Ä E, натянутое на систему (1) 2.3, есть двухмерное векторное пространство;

3) если,  наконец,  l₁= l₂ = l₃, то D(l) = (l — l₁₎³, p(l) = l — l₁ = l - 1/3 J₁ и, следовательно, Т – 1/3 J₁I = 0, т. е. данный тензор Т является шаровым. В этом и только в этом случае упомянутое подпространство в E Ä E одномерно.