2.4. Собственные числа и главные оси симметричных и антисимметричных тензоров

1. Каждому Т Î E Ä E можно сопоставить так называемый девиатор - зависящий только от Т тензор D Î E Ä E &, для которого sp D = 0. Действительно, пусть D = Т – 1/3 J₁I = T – 1/3 (sp T) I. Тогда D зависит только от Т и, поскольку sp I =3, sp D = spT – 1/3 (sp T) sp I = 0.   Внося   выражение   T = D + 1/3 J₁I в равенство (3) 2.3, получим

                                                           D × D × D + J’₂D — J’зI = 0,                                                             (1)                                                                  

где

                J’₂ = I₂ – 1/3 J₁² = ½ sp (D × D),  J’₃ = J₃ – 1/3 J₁J₂ + 2/27 J₁³ = 1/3 sp (D × D × D).                    (2)

Равенство (1) - тождество Гамильтона—Кэли для тензора D = T – 1/3 J₁I. Соответственно

                                                                 x³ + J’₂x - J’₃ = 0                                                                       (3)

— характеристическое уравнение для D. Корни x_i последнего связаны с корнями характеристического уравнения для Т так: l_i = x_i + 1/3 J₁ = x_I + 1/3 sp T, i = 1, 2, 3. Поэтому все корни одного из этих уравнений вещественны тогда и только тогда, когда вещественны и все корни другого. Соответствующее условие для дискриминанта уравнения (3) выглядит следующим образом:

                                                              (J’₃)² + 4/27 (J’₂)³ £0.                                                                   (4)

2. Пусть S^(a) Ì E Ä E подмножество в E Ä E, которое образуют антисимметричные тензоры: T Î S^(a) Û T = - T*.  Для любого T Î S^(a)

                                       sp T = sp (T × T × T) = 0, sp (T × T) £ 0.                                               (5)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           В самом деле, Т*= — Т влечет Т* × Т* × Т* = - Т × Т × Т, откуда sp T* = -sp T, sp(T* × T × T*) = — sp(T × T × T). Но для любого Т Î E Ä E, с другой стороны (п. 2, 1.3), sp T* = sp T, sp(T* × T × T*) = sp(T × T × T). С предыдущими эти равенства согласуются только при spT = spT* = sp(T × T × T) = 0.

Заметим, далее, что х × Т × Т* × х = (х × Т)  ×  (х × Т) — квадрат длины вектора х × Т Î E. Поскольку E — собственно евклидово пространство, х × Т × Т* × х ³ 0 для любого х Î E и любого T Î E Ä E. Отсюда в свою очередь

                                                        sp(T × T*) ³ 0, T Î E Ä E,                                                                  (6)

(причем sp(T × T*) = 0 <=>Т= 0). Если Т — антисимметричный тензор, т. е. Т* = —Т, то sp(T × T*) = — sp(T × T) и (6) сводится к правому из соотношений (5).

Согласно (5) каждый T Î S^(a) совпадает со своим девиатором: T = D + 1/3 (sp T)I = D. Поэтому совпадают и соответствующие характеристические уравнения. Вследствие (5) уравнение (8) 2.3 сводится к уравнению l³ + j²l = 0, где j² = - sp(T × T); отсюда, с точностью до нумерации корней, l₁ = 0, l₂ = j(-1)^1/2, l₃= — j(-1)^1/2. Таким образом, для любого антисимметричного Т одно из собственных чисел — корней характеристического уравнения —равно нулю, а два остальные суть сопряженные комплексные числа с нулевой вещественной частью.

3. Пусть теперь S^(a) Ì E Ä E — подмножество,   образуемое симметричными  тензорами:  Т Î S^(a)<=>T = T*.   Очевидно, что I Î S^(a) и что для каждого Т Î S^(a) симметричным тензором является  и D = T – 1/3 J₁I. Наконец, вследствие Т*=Т из (6) теперь sp(T × T) ³ 0. Рассмотрим тензор

                                                      X = 2J’₂D × D + 3J’₃D + 4/3 (J’₂)²I.                                                       (7)

Составляя выражение для Х × Х и пользуясь равенством (1), с помощью которого D × D × D × D и D × D × D представляются линейными комбинациями более низких степеней, получим sp(X × X) = 18 J’₂((J’₃)² + 4/27 (J’₂)³).  Поскольку каждому Т Î S^(a) формулой (7) сопоставляется, очевидно, симметричный тензор X, должно быть sp(X × X) ³ 0 и, следовательно,

                                                              J’₂((J’₃)² +4/27 (J’₂)³) ³ 0.                                                             (8)

Заметим, что sp(D × D) = 0 <=> D = 0, в силу этого и (2) J’₂ = 0 влечет J’₃ = 0; с учетом этого видно, что (8) равносильно (4). Тем самым для  каждого T Î S^(a) -  симметричного двухвалентного тензора над E, все корни характеристического уравнения суть вещественные числа.

4. Отсюда следует в свою очередь, что для симметричного Т любому из этих чисел — корней уравнения (8) 2.3, соответствует по крайней мере одна главная ось тензора Т, так что

                                                  a₁ × T = l₁a₁,  a₂ × T = l₂a₂,  a₃ × T = l₃a₃.                                                 (9)

Пусть хотя бы два из чисел l₁, l₂, l₃ различны, например, l₁ ¹ l₂. Тогда соответствующие им оси взаимно ортогональны: а₁ × а₂ = 0. В самом деле, из первых двух равенств (9) а₁ × Т × а₂ = l₁а₁ × а₂, а₂ × Т × а₁ = l₂а₂ × а₁, откуда с учетом симметрии тензора l₁a₁ × a₂ = l₂a₂ × a₁ или (l₁ - l₂)a₁ × a₂ = 0 и, поскольку l₁ ¹ l₂, а₁ × а₂ = 0.

Если l₁ ¹ l₂, l₂ ¹ l₃, l₃ ¹ l₁, то соответственно триэдр а₁, а₂, а₃ состоит из попарно ортогональных векторов. Заметим, что в силу однородности уравнений (9) каждый из векторов а_i, можно считать вектором единичной длины. Тогда a_i × a_j = 0  и a_i × a_j = 1 при i = j, т. е. а₁, а₂, а₃ образуют ортонормированный базис пространства E. Векторы этого базиса определяются с точностью до множителя ± 1: очевидно, что если векторы а₁, а₂, а₃ удовлетворяют системе из уравнений (9) и a_k × a_k = 1, k = 1, 2, 3, то и каждый из триэдров - а₁, а₂, а₃; а₁, -а₂, а₃; ... ; — а₁, — а₂, — а₃ удовлетворяет этой системе.

Если два из корней характеристического уравнения равны друг другу, например l₁ ¹ l₂, l₂ = l₃, то с точностью до множителя ±1 определяется лишь один собственный вектор а₁; в плоскости, перпендикулярной а₁ любое направление будет главным. Наконец, когда l₁ = l₂ = l₃, любое направление в про­странстве E является главным. В этом и только в этом случае данный тензор с точностью до скалярного множителя совпадает с тензором I (представляет собой „шаровой" тензор).

5. Пусть по-прежнему Т Î S^(a), т. е. Т — симметричный двухвалентный тензор над E. В соответствии с изложенным тогда существует такой ортонормированный базис пространства E, что

                                                          Т = l₁а₁а₁ + l₂а₂а₂ + l₃а₃а₃.                                                  (10)   

 Иными словами, в разложении по диадам из векторов этого базиса матрица компонент тензора Т является диагональной матрицей с собственными числами в качестве элементов главной диагонали. Так как а_i × а_j = 1 при i = j и а_i × а_j = 0 при i ¹ j, отсюда

                   Т × Т = l₁²а₁а₁ + l₂²а₂а₂ + l₃²а₃а₃, Т × Т × Т = Т = l₁³а₁а₁ + l₂³а₂а₂ + l₃³а₃а₃.                     (10’)

и т. д. Таким образом, для каждого Т Î S^(a) главные оси тензоров Т, Т × Т, Т × Т × Т и т. д. совпадают. Вообще, если а — собственный вектор для Т, так что а × Т = lа, то а × Т × Т = lа × Т=l²а; аналогично получается а × Т × Т × Т = l³а,а × Т × Т × Т × Т= = l⁴а и т.д. Это означает, что каждая главная ось тензора Т является главной осью и для Т × Т, Т × Т × Т и т. д.