2.3. Тождество Гамильтона—Кэли

С заданием определенного T Î E Ä E определяется и последовательность

                                                            I (= T⁰), T, T × T, T ×T ×T, . . . ,                                                     (1)

каждый член которой — также двухвалентный тензор над E. Любая линейно независимая подсистема системы (1) содержит не более чем dim E = 3 элементов. Доказательству этого факта по существу и посвящен настоящий параграф.

Поскольку E — трехмерное пространство, при любом х Î E векторы х, х × Т, х × Т × Т, х × Т × Т × Т линейно зависимы. Отсюда

                                                   x × (jI + j₁T + j₂T × T + j₃T ×T ×T) = 0, x Î E,                                        (2)

где для  каждого х не все числа j, j₁, j₂, j₃ суть нули. Но тогда должна существовать ненулевая система (j, j₁, j₂, j_з) Î R⁴, с которой jI + j₁T + j₂T × T + j₃T ×T ×T = 0.  Если фиксировать  какой-либо базис для E и, следовательно, для E Ä E, то это равенство   сведется   к  системе   скалярных   уравнений,   из которых  j₂= — j₃ sp T,   j₁ = 1/2 ((sp Т)² - sp (Т × Т)), j =  -j₃(1/3 sp(T × T × T) – ½ sp T sp (T × T) + 1/6 (sp T)³)  (эти выражения, конечно, также можно получить чисто „внутренним" путем, т. е. не пользуясь координатным представлением тензо­ров). В результате                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

                                                 Т × Т × Т — J₁ Т × Т + J₂Т — J₃I = 0,                                                       (3)

где

                                                 J₁ = sp T,  J₂ = ½ ((sp T)² – sp T × T)),

                                                J₃ = 1/3 sp(T ×T × T) – ½ sp T sp (T  T) + 1/6 (sp T)³.                                (4)

На основании изложенного равенство (3) справедливо для любого Т Î E Ä E и в этом смысле представляет собой тождество, которое и называется тождеством Гамильтона—Кэли.

Для вырожденного Т по крайней мере одно из чисел J₁, J₂, J₃, а именно J₃, равно нулю. Действительно, из (3)

                                                        J₃x = x × (T × T × T – J₁T × T + J₂T), x Î E.                                        (5)

Так как х × Т = 0 влечет х × Т × Т = х × Т × Т × Т = 0, для вырожден­ного Т вырожденный тензор представляет собой и любая линейная комбинация тензоров Т, Т × Т, Т × Т × Т. Вследствие этого и (5), когда Т — вырожденный тензор, векторы J₃х для всех х Î E — элементы не более чем двухмерного подпространства в E, и при J₃ ¹ 0 с помощью тождества (5) можно было бы  построить линейное и взаимно однозначное отображение пространства E на векторное пространство меньшего числа измерений.

2. Если а ¹ 0 и при каком-либо l Î R

                                                                                 a ×T = la,                                                             (6)

то а называется собственным вектором, а соответствующее этому вектору направление в пространстве E — главным направлением {или главной осью) тензора Т Î E Ä £. Так как а • I = а, из (6) а × (Т — lI) = 0; поскольку а ¹ 0, это означает, что Т_l = Т — lI — вырожденный тензор и, следовательно, на основании доказанного выше скаляр J₃ = 1/3 sp(Т_l × Т_l × Тl) – ½ (sp T_l) sp(T_l × T_l) + 1/6 (sp T_l)³ должен равняться нулю:

                         1/3 sp ((T - lI) × (T - lI) – 1/2 (sp (T - lI) × (T - lI) + 1/6 (sp (T - lI))³ = 0.                   (7)

Заметим, что sp I = 3 (п. 3, 2.1), поэтому sp(T - lI) = spT — 3l, sp((T - lI).( T - lI)) = sp(T×T) — 2l sp T -|- 3l² и т. д. С учетом этого из (7)

                                                                l³ —J₁l² + J₂l - J₃ = 0,                                                           (8)

где J₁, J₂, J₃ по-прежнему определяются выражениями (4). Если l₁, l₂, l₃ — корни уравнения (8), то вместе с (4)

                                                   j₁ = l₁ + l₂ + l₃, , J₂= l₁l₂ + l₂lз ₊ lзl₁, J₃= l₁l₂l₃.                                   (9)

Уравнение (8) называется характеристическим уравнением данного тензора Т Î E Ä E. Если степени скаляра l в левой части (8) заменить соответствующими из степеней Т × Т × Т, Т × Т, Т, I (=Т°), то получим равенство (3). Это формальное соответствие указанных скалярного и тензорного уравнений обычна выражается утверждением, что тензор (или матрица) удовлетворяет своему характеристическому уравнению, и называется теоремой Гамильтона—Кэли.

Поскольку для вырожденного Т необходимо J₃ = 0, в соответствии с (9) в этом случае по крайней мере один из корней уравнения (8) также равен нулю. Обратно, когда хотя бы один из этих корней равен нулю и, следовательно, J₃ = 0, тензор Т — вырожденный. Действительно, при l = 0 из (6) имеем а × Т = 0 при а ¹ 0, так что dim E_T > 0 (п. 2), т. е. Т — вырожденный тензор.

Данный Т Î E Ä E однократно вырожден, когда нулевое значение имеет только один из корней характеристического уравнения, двухкратно вырожден, когда нулю равны два (и только два) корня и, наконец, полностью вырожден при l₁ = l₂ = l₃ = 0.

Из определения композиции sp( ) (п. 3, 2.1) следует, что spT = spT* для любого Т Î E Ä E. В частности, поскольку (Т × Т)* = Т* × Т*, (T × Т × Т)* = Т* × Т* × Т* (п. 4, 2.1), вместе с sp T = sp T* всегда sp (T × T)=sp (T* × T*), sp (T × T × T) = sp(T* × T* × T*). Вследствие этого и (4) роль J₁, J₂, J₃ -коэффициентов в равенстве Гамильтона—Кэли — для Т* играет та же, что и для Т, система чисел, и Т, Т* имеют одинаковое характеристическое уравнение.

3. Вернемся к системе (1). Заметим, что из (3)

                                                 T × T × T = J₁T × T – J₂T + J₃I.                                                      (10)

Отсюда Т × Т × Т × Т = J₁Т × Т × Т — J₂Т × Т + J₃Т и, с использованием  еще раз выражения (10),

                                             Т × Т × Т × Т = (J₁² – J₂) Т × Т + (J₃ - J₂J₁) Т + J₃J₁I..                                        (10’)

Аналогичным образом с помощью последнего выражения и снова (10) линейной комбинацией тензоров Т × Т, Т и I представляется Т × Т × Т × Т × Т, затем T × Т × Т × Т × Т × Т и т. д. Но это и значит, что любая конечная подсистема системы (1) содержит не более чем три линейно независимых элемента, т. е. что число измерений подпространства в E Ä E, натянутого на систему (1), £ dim E = 3. Как будет видно далее, это число равно dim E тогда и только тогда, когда среди корней уравнения (8) нет кратных.