2.2. Двухвалентные тензоры как линейные операторы

Вернемся к одной из основных моделей произведения E Ä E, в рамках которой каждый тензор T Î E Ä E — линейное отображение пространства E в E, а именно

                                                                   Т:х -> х  × Т,  x Î E.                                                            (1)

Если для некоторых векторов а₁, а₂ Î E будет а₁ × Т = а₂ × Т = 0, то и для любой их линейной комбинации, очевидно, (c₁a₁ + c₂a₂)  × Т=0. Поэтому подмножество E_T Ì E, состоящее из всех прообразов нулевого вектора: a Î E_T Û а × Т = 0, является подпространством пространства E. Это подпространство называется ядром данного отображения (1), dim E_T - его дефектом. Подмножество E × Т, на которое отображается все пространство E, также является подпространством; dim (E × T) называется рангом отображения (1).

Если dim E_T = 0, то E_T состоит из одного лишь нулевого  вектора, В этом (и только этом) случае для каждого базиса е₁ е₂, е₃ пространства E векторы e₁ × T, е₂ × Т, е₃ × Т также образуют базис для E. Действительно, если допустить, что е₁ × Т, е₂ × Т, е₃ × Т линейно зависимы, то с₁е₁ × Т + с₂е₂ × Т + e₃ × Т = 0, где не все числа c_i равны нулю, откуда а × Т = 0 при a = c₁e₁ + c₂e₂ + c₃e₃ ¹ 0, в противоречие условию dim E_T = 0. Отсюда вытекает, что условие dim E_T   равносильно каждому из следующих: 1) E × T = E, 2) dim(E × T) = dlm E, 3) отображение (1), соответствующее данному T Î E Ä E, обратимо. Обратимость отображения (1) означает существование такого тензора Т^-1, что (х × Т)  × Т^-1 = х ×  (Т × Т^-1) = х для любого х  Î E, откуда в силу отмеченного в п. 3 2.1 Т × Т^-1 = Т^-1 × Т = I. Обратно, из существования Т^-1 Î E Ä E, удовлетворяющего последним равенствам, вытекает обратимость отображения (1). Поэтому к перечисленным условиям 1), 2), 3) можно добавить еще одно, им равносильное: 4) существует такой тензор Т^-1 Î E Ä E, что Т^-1 × Т = = Т × Т^-1 = I.

Пусть теперь dim E_T > 0. Тогда необходимо dim (E × Т) < dim E. Вообще, как можно показать, dim(E × T) + dim E_T = dim E, т. е. для любого T Î E Ä E сумма дефекта и ранга соответствующего линейного отображения пространства E в E совпадает с числом измерений последнего. Тензор Т будем называть невырожденным, если dim E_T = 0, т. е. если невырождено (имеет максимальный ранг) отображение (1), и вырожденным при dim E_T >0 (однократно вырожденным при dim E_T = 1, двухкратно - при. dim E_T = 2 и т. д.).