2.1. Сводка исходных фактов

1. В этой главе, как правило, роль основного будет играть обычное, т. е. трехмерное собственно евклидово пространство, которое будем обозначать просто через E (как всегда, одновре­менно E будет обозначать и множество векторов пространства).

Тензорные произведения векторов часто называют также полиадами (диадами, триадами и т. д., когда нужно подчеркнуть число сомножителей). Учитывая, что E* = E, на основании изложенного в п.1.7 предыдущей главы для любых векторов a, b из E диаду ab можно отождествить с билинейной формой на E ´ E, сопоставляющей каждой паре (х, у) Î E ´ E число (а × х) ´ (b × y), или с линейным отображением пространства E в E по правилу х -> (а × х)b. Тогда соответственно

                                         ab : (х, у) -> (а × х)(b × у) или ab : х -> (а × х)b                                             (1)                                                                                                                                                                                                                            (линейное отображение пространства E в E по закону х —> а (b × х) = = (b × х)а нужно считать моделью диады ba). Так как E Ä E по определению натянуто на множество всех диад из векторов пространства E, при этом и любой Т Î E Ä E — двухвалентный тензор над E — будет представлять собой билинейную форму на E ´ E или линейное отображение E в E. Если воспользоваться некоторыми из композиций, связанных со „свертыванием", то соответственно

                                    Т: (х, у ) -> х × Т × у, (х, у) Î E ´ E или Т: х -> х × Т, х Î E.                                 (2)

Действительно, напомним, что по определению

                                       x × ab = (x × a)b,    ab × x = a(b × x) = (b × x)a,

                                    x × ab × y = (x × ab) × y = x × (ab × y) = (x × -a)(b × y)                                              (3)

 (для любых х, у, а, b Î E). Когда T = ab, в силу (3) будет х × Т × у = (a × x)(b × y), х × Т = (а × х)b, и потому в этом случае (2) сводится к (1). Из (2) и (3) следует также, что произвольный Т Î E Ä E представляется линейными комбинациями диад. Но в совокупности с предыдущим это и означает, что при конкретизации диад согласно (1) произвольный Т Î E Ä E превращается соответственно в билинейную форму или линейное отображение, действующие так, как указано в (2).

2. Пользуясь любой из этих вполне равноправных моделей произведения E Ä E, нетрудно проверить непосредственно, что для каждого базиса е₁ е₂, е₃ пространства E каждая из систем З² тензоров е_iеj, еⁱе_j, е_ie^j, еⁱе^j есть базис для E Ä E (где по-прежнему еⁱ — векторы, с которыми еⁱ × е_j = dⁱ_j). В результате фиксированием базиса для E каждому тензору Т Î E Ä E сопоставляются четыре, вообще говоря, различных матрицы:

                                                             Т = t^ije_ie_j = t^j_jeⁱe_j = tⁱ_je_ie^j = t_ijeⁱe^j,                                                  (4)

 причем t^ij = t ^j_kg^ki = tⁱ_kg^kj = t_klg^ikg^jl, t^j_i = t ^kjg_ik = t_ikg^kj и т. д., где g^iJ  =  e^l × e^j, g_ij = e_l × e_j (п.10.1). Поскольку E — собственно евклидово пространство, существуют базисы, при использовании которых различие между разложениями (4) исчезает (2, п.10.1).

3. Присоединим к (3) еще одно естественное „условие ассоциативности", а именно x × (T_u × T_v) = (x × T_u) × T_v для любых х Î E и Т_u, Т_v Î E Ä E. Тем самым каждой паре Т_u, Т_v двухвалентных тензоров над E сопоставляются композиции T_u × T_v и Т_v × Т_u — также двухвалентные тензоры над E (в отличие от тензорных произведений Т_uТ_v, Т_vТ_u, которые, подчеркнем,—элементы пространства E Ä E Ä E Ä E, т. е. четырехвалентные тензоры).

При этом всегда (Т_u × Т_v) × Т_w = Т_u × (Т_v × Т_w), так что естественным образом определяются многократные произведения этого типа. С учетом (3) все такие (связанные со „свертыванием") композиции легко выписываются в координатных представлениях:

                                               x  ×  T = (xⁱe_i) × (t^jke_je_k) = xⁱt^jke_i × e_je_k = xⁱt^j_ie_j,

                                              T × x = xⁱt^j_ie_j,  T_u × T_v = u^ijv^kle_ie_j × e_ke_l = u^ijv^klg_jke_ie_l                                       (5)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             и т. д.

Композицию, которая соответствует „полному свертыванию", будем обозначать символом sp ( ). Иными словами, sp T — образ тензора ТÎ E Ä E при каноническом отображении произведе­ния E Ä E в поле скаляров. Это отображение порождается отображением по правилу ху ® х × у подмножества в E Ä E, состоящего из диад, и потому действует по правилу T = tⁱ_je_ie_j ® t^l_je_ie^j. Соответственно sp T = tⁱ_je_i × e^j = tⁱ_jd^j_i (= t¹₁ + t²₂ + t³₃; символ sp и подчеркивает тот факт, что при использовании „смешанных" компонент композиция sp T сводится к „взятию следа" матрицы). Тем самым, конечно, sp T определяется и через матрицу компонент в любом другом базисе: sp T = tⁱ_i = t^ijg_ij = t_ijg^ij. С   учетом (5)   sp(T_u × T_v) = u^iJv^klg_jkg_il = uⁱ_jv^j_i и т.д.

Пусть по-прежнему I -  метрический тензор. Тогда

                                        I = I × I = I × I × I = ..., sp I = sp (I × I) = sp (I × I × I) = 3.                                        (6)

Это — характеристические свойства: из каждой системы равенств (6) следует, что для I разложения (4) должны иметь вид (п. 10.1) l = dⁱ_je_ie^j = g_ijeⁱe^j = g_ijeⁱe^j и обратно, отсюда вытекает (6). В такой же мере характеристическими являются следующие соотношения:

                                            x × I = I × x = x,  x Î E,  T × I = I × T = T, T Î E Ä E.                                      (7)

4. Для каждого T Î E Ä E  существует, причем единственный, такой, тензор T* Î E Ä E, называемый сопряженным к Т, что х × Т = Т* × х для любого х Î E. Именно, если T = t^ije_ie_j, то T* = t^ije_je_i = t^jie_je_i. Заметим, что х ×  (Т_u × T_v) = (х × Т_u)  × T_v = T*_v ×  (T_u × x) = (T*_v × T*_u)  × х. Отсюда

                            (T_u × T_v)* = T*_v × T*_u,  (T_u × T_v × T_w)* = T*_w × (T_u × T_v)* = T*_w × T*_v × T*_u.                           (8)

Тензор Т называется симметричным, если Т = Т*, и антисимметричным (кососимметричным), если Т = — Т*. Из определения Т* следует, что (Т*)* = Т и (Т_u + Т_v)* = Т*_u + Т*_v для любых Т, Т_u, T_v  Î E Ä E. В силу этого в свою очередь для любого T Î E Ä E тензор Т + Т*— симметричный, а Т - Т* — антисимметричный, и потому Т единственным образом представляется в виде суммы симметричной и антисимметричной  частей: T = [(T + T*) + (T – T*)] / 2.