1.9. Аффинные тензоры

1. Допустим, что задано какое-либо A. Тем самым задано и A* — сопряженное к A пространство, а также с точностью до канонического изоморфизма любое из тензорных произведений АÄА, АÄАÄA, ..., A*ÄA*, A*ÄA*ÄA*, ... , АÄА*, АÄА*ÄА и т. д. Элементы всех таких, порождаемых заданием A, тензорных произведений называются аффинными тензорами над A. Аффинные тензоры, принадлежащие АÄА*Ä ... ÄA , называются s-валентными, причем г раз контра- и (s — г) раз ковариантными, если А в это произведение входит сомножителем г раз, а А*, следовательно, (s — г) раз. При r — s или г = 0 кратность контра- или ковариантности обычно не упоминается.

Так, по этой терминологии векторы из А — одновалентные контравариантные, из А* — одновалентные ковариантные тензоры, из АÄА — двухвалентные контравариантные тензоры над А и т. д. В число аффинных тензоров обычно включают также элементы поля скаляров. Поле скаляров пространства А можно рассматривать как нулевую тензорную его степень, и тогда соответственно скаляры будут аффинные тензоры нулевой валентности над А.

2. Рассмотрим случай конечномерного исходного пространства. Любое произведение А_пÄА*_пÄ...ÄА_п  с s ³ 1 сомножителями, как вытекает непосредственно из определений, обладает структурой n^s-мерного векторного пространства. В частности, на основании 1.7 для любого ба­зиса е₁ е₂, ... , е_n пространства А_п п² тензоров е_ie_j образуют базис для А_пÄА_п, п³ тензоров е_iе_je_k, — базис для А_пÄА_пÄА_п и т. д.

Напомним, далее, что в силу условия е^i×е_j = dⁱ_j каждому базису е₁ е₂, ..., е_n Î A_л сопоставляется (причем единственный) базис е¹, е², ... , е^п для А_п.. При этом n² тензоров eⁱe_j образуют базис для A*ÄA*, п³ тензоров eⁱe^je^k — базис для А*_пÄА*_п ÄА*_п и т. д.

Таким образом, заданием базиса для А_п определяется базис и для каждого элемента цепочки тензорных произведений порождаемых А_п (т. е. содержащих аффинные тензоры над A_n). Соответственно замена данного базиса исходного пространства другим определяет преобразование базисов в этой цепочки.

Пусть е^1’, е^2', ... , е^n’  и е¹', е²', . .. , е^л' — „новые" базисы для А_п и A_n*,

                                                       e_i’ = aⁱ_i’e_i,  e^i’ = aⁱ_i’eⁱ,  aⁱ_i’a^i’_k = dⁱ_k                                                       (1)

— их разложения по векторам „старых" базисов. Как обычно, по повторяющимся индексам подразумевается  суммирование, так что aⁱ_i’г и a^i’_i —общие элементы некоторых (невырожденных) матриц п X п из вещественных или комплексных чисел.

Условие aⁱ_i’a^i’_k = dⁱ_k есть необходимое и достаточное условие того, что вместе с еⁱ'×е_j = dⁱ_j аналогичное отношение выполняется и для „новых" базисов. В силу этого условия заданием одного из преобразований (1) полностью определяется и второе.

Вследствие полилинейности отображений, порождающих тензорные произведения,

                                                   e_i’е_j’ = aⁱ_i’a^j_j’e_ie_j,   е^i’е_j’ = a^i’_ia^j_j’e^/e_/  и т. д.                                            (2)

При этом, разумеется, определенным образом преобразуются и компоненты тензоров. Рассмотрим, для определенности, какой-либо Т Î А_пÄА*_пÄА*_п, т. е. трехвалентный „смешанный" тензор: Т = t^l._jke_ie^Je^k. Поскольку Т с равным правом разлагается по элементам и „нового" базиса для А_пÄА*_пÄА*_п, имеем Т = t^l._jke_ie^Je^k = t^l’._j’k’e_i’e^J’e^k’_; так как e_ie^je^k = a^i’_ia^j_j’a^k_k’ e_i’е^j’е^k’, отсюда a^i’_ia^j_j’a^k_k’tⁱ_×jke_i’e^j’'e^k’ = t^I’_×j’k’e_i’e^J'e^k’ и далее в силу линейной независимости системы из n³ тензоров e_i’e^j’e^k’

                                                                    t^I’_×j’k’ = a^i’_ia^j_j’a^k_k’tⁱ_×jk.                                                                 (3)

В это преобразование один раз входит матрица второго и два раза первого из преобразований (1), что и отражает термин «раз контра- и дважды ковариантный тензор» (поскольку первое из преобразований (1) является в известном смысле основным, а матрица второго получается транспонированием матрицы преобразования, обратного первому). По образцу формулы (3) легко написать формулы преобразования компонент любого аффинного тензора над А_п. Характерная форма «закона» преобразования компонент тензоров лежит в основе обычного «координатного» их определения, используемого в большинстве известных руководств.

3. С помощью разложений по базисам линейные композиции тензоров обычным образом сводятся к аналогичным композициям „одноименных" компонент: для любых тензоров Т_a и Т_b одинакового „строения", например из А*_п Ä А_п, имеем Т_a + Т_b = a^×_i^jеⁱе_j. + b^×_i^jеⁱе_j = (a^×_i^j + b^×_i^j)еⁱе_j, а также lТ_a=(la^×_i^j')еⁱе_j.

Из определений п.п. 1.6 и 1.8 следует, кроме того, что для любой конечной упорядоченной системы Т_a, Т_b, Т_j, ... , Т_u аффинных тензоров над А_п (причем не обязательно уже одинакового “строения") определена и также является аффинным тензором над А_п композиция Т_aТ_bТ_j...Т_u — тензорное произведение элементов этой, системы. Действительно, поскольку каждый из тензоров Т_a, Т_b, Т_j, ... , Т_u является элементом какого-либо из произведений А_пÄ А*_пÄ…Ä А_п векторных пространств с одинаковым для них всех полем скаляров, для пары Т_a, Т_w, определен тензор Т_aТ_w — тензорное произведение Т_a на Т_w для пары Т_aТ_w, Т_j в свою очередь — тензор Т_aТ_wТ_j  = (Т_aТ_w)Т_j

и т.д.

Пусть, например, Т_a Î А_п Ä А_п, T_w Î А*_п Ä А*_п. Тогда Т_aТ_w Î ( А_п Ä А_п) Ä ( А*_п Ä А*_п) = А_п Ä А_п Ä  А*_п Ä А*_п, откуда Т_aТ_w  = = (a^×ijе_iе_j)(w_klе^kе^l) = a^×ijw_klе^kе^lе_iе_j. Вообще, если Т_a и Т_w—какие-либо соответственно р- и s-валентные аффинные тензоры над A_п, то Т_aТ_w будет ps-валентным тензором. Аналогичным обраобстоит дело и с тензорным произведением более чем двух тензоров. Отметим, что, вообще говоря, Т_aТ_w ¹ Т_wТ_a.

4. Наконец, используя каноническую билинейную форму на А*_п´А_п, для аффинных тензоров над А_п можно определить еще один вид композиций, которым соответствует так называемое „свертывание" компонент.

Пусть x Î A_n и х, у — какие-либо векторы из A_n, так что xху Î A*_nÄA_nÄА_п и отображение по правилу xху ® (x×x)у, где x×х — скаляр (значение упомянутой билинейной формы), есть каноническое отображение на А_п некоторого подмножества пространства А*_п Ä А_п Ä A_n. Поскольку последнее натянуна это подмножество, отображение xху ® (x×x)у порождает отображение всего А*_пÄА_пÄA_n на А_п, а именно t^×_i^jkeⁱe_je_k ® t^×_i^jkeⁱ×e_je_k = t^×_i^jke_k  (где учтено, что eⁱ×e_j = dⁱ_j).

Аналогичным образом отображения (x, ху) -> (x × х)у и (x, ху) -> х (у × x) = (x × y) х порождают два, вообще различных, отомножества А*_п X {А_пÄА_п) на А_п. Условимся образ пары (x, Т) Î А*_п´(А_nÄА_п) в первом случае обозначать через x × Т, а во втором — через Т × x; в частности, x  × ху = (x × х)у, ху × x = х (у × x) = х (x × у) (у × x = x  × у в силу того, что А_п и A*_n— взаимно сопряженные пространства). Таким образом, x × Т = (x _i eⁱ) × (t^jke_je_k) = x _i t^jk eⁱ × e_je_k = x _i t^jk e_k,   где   учтено,   что eⁱ × e_j = dⁱ_j; T × x = x _j t^kje_k.

Эта символика целесообразна и в других случаях. Так, xy × xh = (xy × x)h = x(y × xh) = (x × y) xh. Соответственно Т_{a ×} Т_w для любых Т_a Î A_nÄA_n и Т_w Î A*_nÄA*_n обозначает образ пары Т_a ,  Т_w при каноническом отображении множества (A_nÄA_n) ´)A*_nÄA*_n) на A_nÄA*_n, которое порождает отображение по закону (ху, xh)  -> ху × xh = (x × у) xh.

Очевидно, однако, что композиция Т_u × Т_v определена не для всякой пары аффинных тензоров. В частности, T_u × T_v теряет смысл, когда оба тензора Т_u и T_v вместе «чисто» ко-  или контравариантные.