1.8. Тензорное произведение нескольких векторных пространств

Так как произведение АÄ В обладает структурой векторного пространства, оно само может служить сомножителем в тензорных произведениях. Пользуясь любой из описанных в предыдущем параграфе моделей тензоров над парой данных векторных пространств, нетрудно проверить, что для любых А, В, D с одинаковым полем скаляров (AÄ B)Ä D = AÄ (BÄ D). Поскольку, таким образом, порядок расстановки скобок значения не имеет, их можно опустить: АÄ ВÄ D =   =(AÄ B)Ä  D = AÄ(BÄ D).

Вообще, для любой конечной системы A₁, A₂, .. . , А_k векторных  пространств А₁ÄА₂Ä ... ÄА_{k =} (А₁ Ä А₂)Ä(А₃Ä ... ÄА_k) =  А₁Ä(А₂ÄА₃)Ä(А₄Ä ... ÄA_k) = .... Отсюда следует, что dim (А₁ÄА₂Ä ... ÄА_k) = (dim A₁) (dim A₂)...(dim A_k) и что А₁ÄА₂Ä ... ÄА_k натянуто на множество значений канонического и полилинейного отображения произведения А₁´А₂´ ... ´А_k

В некоторых случаях часть сомножителей в тензорном произведении может „исчезать". Действительно, для любых поля К и векторного пространства А над К определены, в частности, КÄ А и АÄК (поскольку К также можно рассматривать как векторное пространство над К). Но отображение по правилу aÄх->aх, a Î К, х Î A, представляет собой канонический изоморфизм пространства КÄА на A. Поэтому КÄA, равно как и АÄК, можно с A отождествить: А = КÄА=АÄК. В частности, К=КÄК = КÄКÄК=....