1.7. Модели тензорных произведений

1. Билинейные формы на А*´В*. Каждой паре (х, u) Î AxB можно сопоставить определенную и зависящую только от векторов х, u билинейную форму на А*´В*: зна­чения этой формы, которую мы обозначим через хu, определяются условием (хu) (x, g) = (x×х)(g×u), xÎA*, gÎВ*. Здесь x×х и g×u —числа (значения форм x и g), тем самым и (x×х)(g×u)— число, т. е; элемент поля скаляров. Поэтому

                                                 хu: (x, g) ® (x×х)(g×u), (x, g) Î A*´B*                                                     (1)                                                                                                                                                                                                                     

— действительно форма на А*´В*. Очевидно, что эта форма билинейна.

Множество всех билинейных форм на А*´В* естественным образом наделено структурой векторного пространства. Обозначим через АÄВ подпространство этого пространства, натянутое на подмножество, которое образуют формы хu для всех пар (х, u) Î АÄВ. Соответственно отображение по закону (х, u)->xu есть отображение множества АхВ в АÄВ. Это отображение определяется вне связи с выбором базисов и, кроме того, билинейно: из (1) с учетом определения естественных линейных комбинаций форм следует, что (ax + by)u = axu + byu, х(au + bv) = axu +bxv для любых х, у Î А, u, v Î B и чисел a, b. Наконец, dim АÄВ = (dim A) (dim B).

В самом деле, пусть А, В—.конечномерные пространства, dim A = n, dimB = m и (е,, е₂, ..., е_k), (э₁ э₂, ..., э_k) — ба­зисы  для А и  В. Вследствие  билинейности  отображения (x, u) ® xu, имеем xu = (x^je_j)(u^sэ_s) = x^ju^se_jэ_s.

Так как АÄВ натянуто на значения этого отображения, т. е. состоит из всевозможных линейных их комбинаций, произвольный вектор пространства АÄВ также представляется линейной комбинацией векторов е_jэ_s. Система из пm форм е_jэ_s линейно независима, в силу этого и возможности представить любой Т Î АÄВ линейной комбинацией ее элементов является базисом для АÄВ, откуда и имеем dim АÄВ = nm =  (dim A) (dim В).

Нетрудно убедиться также в том, что для конечномерных А и В рассматриваемое подпространство пространства, образуемого всеми билинейными формами на А*´В*, является „несобственным"—совпадает в действительности с этим пространством. В бесконечномерном случае этого может и не быть. Но, равенство dim АÄВ = (dim A) (dim В) при надлежащем определении dim ( ) сохраняет смысл и остается справедливым и в этом случае.

2. Линейные отображения пространства A* в В. Для каждой пары (х, u)ÎАхВ обозначим теперь через хu отображение пространства A* в В, действующее по закону

                                             xu: x ® (x×x)u,  x Î A*.                                                                  (2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         Это отображение линейно и подобно (1) зависит только от векторов х, u. Пусть по-прежнему АÄВ  — пространство, натянутое на множество, которое образуют хu для всех пар (х, u) Î A´B. При этом снова отображение (х, u)->xu каноническое и билинейное, a dim АÄВ = (dim A) (dim В), т. е. выполняются все требования, которые содержит в себе определение произведения АÄВ.

Таким образом, при желании тензорное произведение АÄВ можно конкретизировать, отождествив тензор xÄu для каждой пары (х, u) Î АхВ с билинейной формой (1) или линей­ным отображением (2). Тогда, подчеркнем, и любой тензор Т Î АÄВ будет представлять собой билинейную форму на А*ÄВ*, или соответственно линейное отображение A* в В. Для конкретных исходных A и В векторных - пространства канонически изоморфны друг другу равно как и любой другой, удовлетворяющей всем нужным требованиям, модели произведения А®В.

3.  Координатные изоморфизмы и „арифметическая"  модель АÄВ.   Ограничимся  конечномерным случаем. Пусть A_n, B_m  -  какие-либо п- и m-мерные векторные пространства над полем С или R. На основании сказанного в п. 1 для любых базиса е₁, е₂, … , е_n пространства A_n и базиса э₁, э₂, ..., э_m пространства В_m тензоры е_jэ_s - образуют базис для А_пÄ В_m. Другими словами, для любого ТÎ А_пÄ В_m найдется, причем единственная, матрица t^js размерности n´m из вещественных или комплексных чисел, с которой T = t^jse_jэ_s.

Для любых тензоров Т_a, Т_b Î А_пÄВ_m и скаляра m

                                      Т_a + Т_b = a^jsе_jЭs + be_jэ_s = (a^js + b^js)е_jэ_s, mT_a = (ma^js)е_jэ_s.

Отсюда следует, что отображение по закону T = t^jse_jэ_s —> ((t^js)) есть изоморфизм произведения А_пÄ В_m на пространство, которое состоит из всевозможных матриц n´m над полем R или С с покомпонентными линейными их комбинациями.