1.6. Тензорные произведения

Начнем со случая, когда даны какие-либо два векторных пространства А и В (не обязательно со скалярным умножением векторов). Пусть по-прежнему А´В— прямое произведение, т. е. множество всех упорядоченных пар (х, u), хÎA, uÎВ, dim( )—число измерений пространства.

Тензорным умножением векторов из А на векторы из В называется закон, сопоставляющий каждой паре (х, u) Î А´В вектор хÄu некоторого (dim A) (dim В)-мерного векторного пространства АÄ В, причем так, что (х, u)->xÄu — каноническое и билинейное отображение, множество значений которого порождает АÄВ (как и в 1.3 под „каноничностью" отображения здесь понимается возможность определить его вне связи с выбором базисов).

Пространство АÄВ называется тензорным произведением пространств А и В, векторы из АÄВ — тензорами над А, В (или просто тензорами, когда ясно, элементами тензорного произведения каких и в каком порядке взятых векторных пространств являются эти тензоры; хотя, как можно показать, АÄВ и ВÄА канонически изоморфны, имеет смысл их не отождествлять).

Для любых вещественных или комплексных векторных пространств А, В тензорное их произведение существует и определено с точностью до канонического изоморфизма. В части, касающейся существования АÄВ, справедливость этого предложения доказывают примеры, приведенные в следующем параграфе.

Пусть теперь АÄB и (АÄB)’ — пространства, каждое из которых обладает всеми свойствами тензорного произведения А на В. Канонические отображения (х, u)-> хÄuÎ АÄB  и (х, u)->(хÄu)’ Î (АÄB)’   порождают   отображение h из АÄB в (АÄB)’, h: xÄu ®(хÄu)’. В силу условия dim АÄB = dim (АÄB)’  и одного из основных свойств исходных отображений, отображение h естественным образом расширяется до отображения АÄB  на (АÄB)’, для этого достаточно каждой линейной комбинации векторов из области определения отображения h сопоставить такую же линейную комбинацию их образов. В результате получается линейное и обратимое отображение АÄB на (АÄB)’ , не связанное с выбором базисов, т. е. канонический изоморфизм.