1.5. Сопряженное пространство. Скалярные  произведения векторов.

1. Пусть А— векторное пространство, x —линейная форма на А, т. е. линейное отображение пространства А в поле скаляров  последнего.  Условимся числа,  служащие значениями формы x, записывать в виде x×х, т. е. x×х = x(х), хÎА, множество всех линейных форм на А обозначим через А*. Множество А* наделено структурой векторного пространства (с композициями x + h, ax для которых (x + h)×x = x×х + h×х, (ax)×х = a(x×х). Это векторное пространство называется сопряженным (или двойственным) к А. Так как векторы из А* - линейные формы на A, для каждой пары (x, х)ÎA*´А определено число x×х. Тем самым множество A*´А канонически отображается в поле скаляров (одинаковое для А и А*). Это отображение действует по закону

                                             I: (x, x) ® x×х,   xÎA*, хÎA                                                                      (1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       и представляет собой билинейную форму на А*ХА.

2. Рассмотрим А_п. Для каждого базиса е₁, е₂, ... , е_k пространства А_k найдутся такие k форм е¹, е², ..., е^k на А_k, что е^m×е_n= d ^m_n , где d ^m_n -  символ Кронекера: d ^m_n = 0 при m¹n, d ^m_n  = 1 при m=n. Действительно, пусть е^m×х=х^m, т. е. форма е^m действует по правилу х = х^mе_m ->х^m (каждому вектору хÎА_п сопоставляет m-ю его компоненту в данном базисе для А_k). При этом е^m— линейная форма и, кроме того, поскольку е_m=d ⁿ_me_n,

                                             е^m×е_n  = d ^m_n  (m, n = 1, 2, …, k)                                                              (2)

С другой стороны, для любой линейной формы x  на А_k  имеем x×х = x×(xⁱe_i) = (x×e_i)xⁱ = (x×e_i)(eⁱ×x). Отсюда x = (x×e_i)eⁱ  или, обозначая числа x×е_i,  через  x_I, x = x_iеⁱ.  Таким образом, любая линейная форма на А_k представляется линейной комбинацией форм е¹, е², ... , е^k. Благодаря (2), последние линейно независимы и потому образуют базис сопряженного к А_k пространства. Можно утверждать, следовательно, что пространство, сопряженное к А_п, — также п-мерное  векторное пространство (и с тем же полем скаляров, так что А_k и А*_k изоморфны). Каждому базису пространства А_k можно сопоставить базис для А*_k, удовлетворяющий усло­вию (2).

3. Линейные формы на A*_k в свою очередь суть векторы пространства А**_k  сопряженного к А*_k. Продолжая этот процесс, получим последовательность A_k, А*_k, А**_k, .... Можно показать, что любые два члена этой последовательно­сти, расположенные в ней через один,  представляют собой канонически изоморфные векторные пространства и потому их можно отождествить. В результате А_k = А**_k=А****_k =... и соответственно А*_k = А***_k =... .

В этом вопросе существенна конечномерность А_k. Для бесконечномерного векторного пространства ряд A, A*, A**, ... может содержать и более чем два различных (не связанных каноническим изоморфизмом) члена.

Вернемся, однако, к конечномерному случаю. В соответствии со сказанным в этом случае А_K и А*_K можно считать взаимно сопряженными пространствами. Если A_K — векторное пространство, для которого кроме линейных композиций подходящим образом определено скалярное умножение векторов, то исчезает различие и между А_K и А*_K.

4. Пусть А_K — вещественное векторное пространство. Будем говорить, что А_k — пространство со скалярным умножением векторов,  если задана билинейная форма g на А_k´A*_k причем

·        а) х×у = у×х для любых х и у из А_k

·        б) для любого х ¹ 0 найдется хотя бы один у, с которым х×у ¹ 0  (где x×y = g(x, у) — значения формы g).  Сама форма при этом называется фундаментальной (или метрической), число х×у для каждой пары (х, у) Î А_k´A_k — скалярным произведением векторов х и у.

Как и любая симметрическая билинейная форма на А_k´A_k форма g порождает линейное отображение пространства А_k в А*_k (несимметричная билинейная форма на А_kХА_k порождает два различных таких отображения. В самом деле, с фиксированием любого х Î А_k форма g сводится к линейной форме g_x :y ® x×y на A_k. Соответственно, h_g: x ® g_x —линей­ное отображение пространства А_k в А*_k.

Второе условие суть условие невырожденности формы g. Оно равносильно условию, что отображение h_g взаимно однозначно. Из сказанного в 1.3 вытекает, что, будучи линейным и обратимым отображением пространства А_k в изоморфное ему пространство A*_k, отображение h_g в действительности -  линейное и обратимое отображение на А*_k  и   тем   самым   изоморфизм пространства A_k на А*_k. Для данного А_k, очевидно, этот изоморфизм зависит только от формы g. Поэтому для пространства со скалярным умножением векторов такой, порождаемый метрической его формой, изоморфизм А_k на А*_k можно считать каноническим и, следовательно, отождествить А*_k с А_k (отождествляя с каждым хÎА_k форму, служащую образом данного х при этом изоморфизме).

Заметим, что при А_k = А*_k каноническая билинейная форма I на А*_k´А_k (см. п. 1 в настоящем параграфе) превращается в форму на А_k X А_k, совпадающую с метрической: I = g.

5. Пусть | х | обозначает неотрицательное (или соответствующее знаку + при мнимой единице, когда х×х<0) из значений радикала (x×x)^1/2. Число |х| называется длиной {нормой) вектора х. Для вещественного А_k симметричная билинейная форма на А_k´А_k   может  порождать  определенно   положительную квадратичную форму, т. е. удовлетворять условию

• б’) х×х > 0 при любом х ¹ 0 из А_k.

Так как при этом для любого х ¹ 0 имеем х×у ¹ 0 по меньшей мере при у = х, вместе с этим условием всегда выполняется и условие невырожденности формы, в то время как из последнего, условие х×х > 0 при любом х ¹ 0 из А_k не вытекает.                                                                                                                          

Когда фундаментальная форма сверх а) и б) удовлетворяет и условию б'), связанные с нею («метрические») свойства пространства вполне аналогичны метрическим свойствам обычного евклидова пространства. Соответственно, вещественное А_п со скалярным умножением векторов, фундаментальная форма которого вместе с а) и б) удовлетворяет и условию б'), называется п-мерным евклидовым пространством. Когда фундаментальная форма условию б') не удовлетворяет, вещественное А_k называется псевдоевклидовым пространством. Иногда евклидовым называют любое вещественное А_k со скалярным умножением, определяемым симметричной и невырожденной билинейной формой на А_kхА_k. При этом пространства, для которых сверх а) и б) выполняется и б^’), называются собственно евклидовыми, а остальные по-прежнему псевдоевклидовыми.

6. Для комплексного А_k скалярное умножение векторов также можно определить заданием билинейной формы на А_kХА_k, подчиняющейся условиям а) и б) (комплексное евклидово пространство). Но при этом условие б') заведомо выполняться не может — в комплексном случае оно противоречит условию билинейности формы. Действительно, для комплексного А_k вместе с каждым х Î А_k в число векторов пространства входит ix, где сейчас i = (-1)^1/2. Если g: (х, у)->х×у - билинейная форма, то (ix) × (ix) = -х×х, и потому при х×х>0 для некоторого х, для вектора ix будет (ix) • (ix) <0.

В связи с этим имеет значение возможность иного определения скалярного умножения векторов комплексного векторного пространства, при котором роль фундаментальной играет не билинейная, а так называемая эрмитова полуторалинейная форма (называемая также эрмитово-билинейной или просто эрмитовой формой). Для вещественного пространства эрмитова форма сводится к симметричной билинейной форме, но в отличие от последней может удовлетворять условию б') и в комплексном случае (комплексное А_k с таким скалярным умножением векторов называется унитарным пространством).