1.4. Полилинейные отображения

Допустим теперь, что даны некоторые k+1 векторные пространства А₁, А₂, ..., А_k, В и отображение Р множества А₁ ´ А₂ ´...´ A_k в В. Таким образом, Р действует   по   правилу   (х₁, х₂, ..., х^k) -> Р(х₁, х₂, ... , х_k) Î В, т. е. представляет собой векторную функцию от k векторных аргументов, каждый из которых пробегает свое пространство. Если закрепить любые k—1 из этих k-векторов-аргументов, то, очевидно, Р сведется к векторной функции одного переменного вектора - отображению в В одного из пространств А₁, A₂, . . . , А_K.

Отображение Р называется полилинейным, если при любом целом г Î [1, k] и любых фиксированных  векторах а₁, а₂, ... , а_r-1, а_r+1, ... , а_k (соответственно   из   А₁, А₂, ... , А_r-1,  Аr+1, ... , А_k) отображение х ® Р(а₁, ..., а_r-1,   х,   а_r+1, ..., а_k) есть линейное отображение пространства А_r в В.

В случае k = 2 полилинейное отображение называется обычно билинейным, при k = 3 — трилинейным и т. д. Нетрудно видеть, что отображение произведения А₁ ´ А₂ ´...´ A_k в В может быть полилинейным только тогда, когда поле скаляров пространства В содержит поле скаляров любого из пространств А₁, А₂, ... , А_k. Таким образом, например, обстоит   дело,   когда А₁, А₂, ... , А_k, В — все вещественные или все комплексные векторные пространства.

Для любой конечной системы А₁, А₂, ..., А_k, В векторных пространств с одинаковым полем скаляров множество P(А₁ ´А₂ ´ ... ´А_k, В) всех полилинейных отображений произведения А₁´А₂´ ... ´A_k в В естественным образом наделено структурой векторного пространства.

Действительно, пусть Р, Т  Î Р(А₁ ´ А₂ ´ ... ´ А_k, В), a - элемент поля скаляров пространств А₁, А₂, ...A_k, В. Нетрудно видеть, что при этом композиции Р + Т и aР, определенные естественным для функций с векторными значениями образом (отношения (2) в 1.2), - всегда тоже полилинейные отображения. Другими словами, подмножество Р(А₁ ´ А₂ ´ ... ´ А_k, В), множества Y(А₁ ´ А₂ ´ ... ´ А_k, В), всех отображений произведения А₁ ´ А₂ ´ ... ´ А_k в В замкнуто в отношении линейных комбинаций своих элементов и потому является подпространством векторного пространства, которое образует множество Y(А₁ ´ А₂ ´ ... ´ А_k, В).

В заключение напомним, что для элементов любого поля определены, в частности, композиции, с которыми поле обладает структурой (одномерного) векторного пространства. Так, поле R вещественных чисел заключает в себе арифметическую модель «вещественной прямой», поле С соответственно — арифме­тическую модель одномерного комплексного векторного пространства. Поэтому определения гомоморфизмов и полилинейного отображения сохраняют смысл и для отображений в поле. Такие, имеющие числовые (скалярные) значения, функции векторных аргументов называются обычно формами.