1.3. Гомоморфизмы.

Пусть А, В — векторные пространства,  h — функция на A со значениями в В, т. е. отображение h:х->h(х), хÎA, пространства А  в В.  Отображение h называется линейным, если h (х + у) = h (x) + h(у), h (ax) = ah (х) для любых х, у Î А и числа a — элемента поля скаляров пространства А.

Таким образом, линейные отображения «сохраняют» характерные для векторной структуры композиции, т. е. каждой линейной комбинации векторов из области определения сопоставляют аналогичную линейную комбинацию их образов, и потому являются гомоморфизмами (представлениями) векторного пространства. Взаимно однозначные гомоморфизмы, как обычно, называются изоморфизмами. Соответственно векторные пространства А и В называются изоморфными, если существует линейное и взаимно однозначное отображение одного из них на другое.

Нетрудно видеть, что когда такое отображение существует, то dim A = dim В и А, В — оба вещественные или оба комплексные (вообще, с одинаковым полем скаляров). В конечномерном случае эти два необходимых условия являются и достаточными: при любом целом п³0 любые п-мерные А_п и В_п с одинаковым полем скаляров — изоморфные векторные пространства. Действительно, при этом с фиксированием любых базиса е₁ е₂, ... , е_п для А_п и базиса r₁, r₂, ... , r_п для В_п определяется также отображение А_п на В_п по закону x = x^je_j ® x^jr_j (сопоставляющее каждому х Î А_п вектор из В_п, системой компонент которого в своем базисе служит та же система чисел, что и для х). Это отображение линейно и, как вытекает из определения базисов, взаимно однозначно, т. е. представляет собой изоморфизм пространства А_п на В_п.

В частности, любое А_п изоморфно «арифметической» своей модели. Соответствующий изоморфизм определяется заданием базиса для А_п и действует по закону х = х^jе_j ® (х¹, х², ..., х^п). Очевидно, что каждый базис пространства А_п порождает такой его изоморфизм на С^п (или Rⁿ), называемый обычно координатным, причем любым двум различным базисам соответствуют и различные координатные изоморфизмы. Подобным образом, вообще говоря, обстоит дело и с изоморфизмами друг на друга любых вещественных или комплексных А_п и В_п. Действительно, фиксировав, например, базис одного из пространств А_п, В_п и рассматривая различные базисы второго, в каждом случае будем иметь изоморфизм А_п на В_п, о котором упоминалось выше (действующий по правилу x^je_j ® x^jr_j. Таким путем, очевидно, можно построить как угодно много различных изоморфизмов A_n на В_п.

В некоторых случаях, однако, вместе с только что описанными может существовать изоморфизм, закон которого полностью определяется лишь «внутренними» (не зависящими от выбора базиса) свойствами связываемых им пространств. Существование для некоторой пары векторных пространств такого («канонического») изоморфизма одного из них на другое делает эти пространства уже вполне равноправными с точки зрения алгебры.