1.2. Некоторые примеры векторных пространств.

“Арифметические” модели А_п. Пусть С ´С ´…´С =  С^п — прямое   (декартово)   произведение, т. е. множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные системы (a¹, a², ..., a^л), a^j Î С (здесь j индекс, а не показатель степени). Положим для любых (a¹, a², ... , aⁿ) и (b¹, b², ... , bⁿ) из Сⁿ и любого g Î С,

                        (a¹, a², ... , aⁿ) + (b¹, b², ... , bⁿ) = (a¹ + b¹, a² + b², ... , aⁿ + bⁿ)                                      (1)

В совокупности с так определенными сложением и умножением на числа из С элементов множества С^п последнее образует векторное пространство. Очевидно, что система из п элементов (1, 0, .-.. , 0), (0, 1, 0, ... , 0), (0, 0, ..: , 1) множества С^п является базисом этого пространства, которое поэтому n-мерное векторное пространство над полем С.

Аналогичным образом строится “арифметическая" (числовая) модель вещественного A_п. Роль векторов в этом случае играют элементы множества R´R´…´R = Rⁿ — системы из n вещественных чисел с покомпонентно (т. е. по формулам вида (1)) определенными их сложением и умножением на числа.

Множество всех матриц данного строения. Пусть ((a_lk)), ((b_lk)) — матрицы m´n (т. е. с m строками и п столбцами) из комплексных или вещественных чисел. С покомпонентным сложением и умножением на числа: ((a_lk)) + ((b_lk)) = ((a_lk + b_lk)), g((a_lk)) = ((ga_lk))  множество всех матриц m´n над полем С или R обладает структурой mn-мерного векторного пространства. Как будет видно в дальнейшем, тензорное произведение друг.на друга каких-либо А _т и А _n представляет собой,«структуру», арифметической моделью которой  как раз и является такое mn-мерное векторное пространство, образуемое матрицами m´п из чисел соответствующего поля.

Множество всех векторных функций с дан­ной областью определения. Пусть V, W —какие-либо множества, Y(V, W) — множество всех отображений множест­ва V в W. Таким образом, отношение f Î(V, W) равносильно условию, что f — функция на V со значениями в W. Если при этом W— (непустое) подмножество векторного пространства, то для элементов множества Y(V, W) естественным образом определяются линейные композиции. Действительно, в этом случае имеют смысл отношения

                                   (f +g)(t) = f(t) +g(t), (af)(t) = af(t), f, g Î Y(V, W) , t Î V.                                (2)

Но композиции, определенные согласно (2), не обязательно функции из Y(V, W), ибо в область значений для f + g и af могут входить векторы, не принадлежащие W.

Усилим поэтому еще раз исходные условия, а именно будем считать, что W — не произвольное непустое подмножество, а подпространство некоторого векторного пространства. Тогда и только тогда, как вытекает из (2) и определения подпространства, для любых f и g из Y(V, W) и любого элемента поля скаляров для W функции f + g и af также ÎY(V, W)). Отсюда в свою очередь следует, что для любых непустого множества V и векторного пространства А множество Y(V, А) всех отображений V®A с естественным (вводимом отношениями (2)) определением их сложения и умножения на скаляры само образует векторное пространство.

Рассматривая различные конкретные V в совокупности хотя бы с одной известной моделью векторного пространства в качестве пространства А, при помощи этого предложения можно построить как угодно много других таких моделей.

Как будет видно далее, при определенной конкретизации множества V одно из подпространств, пространства Y(V, А) образуют так называемые полилинейные отображения. Понятие полилинейного отображения занимает центральное место в тензорной алгебре — термины «тензорная алгебра» и «полилинейная алгебра» являются синонимами. Сначала, однако, напомним определение линейного отображения и некоторые связанные с ним факты.