1.10. Тензоры над пространствами со скалярным умножением векторов

1. Совокупность n-мерного векторного пространства и билинейной метрической формы условимся обозначать E_n. Таким образом, E_n — евклидово пространство (в широком смысле, т.е с метрической формой, которая не обязательно удовлетворяет условию б') п. 1.5). Для простоты этим же символом E_n будем обозначать и «базисное» векторное пространство. Поскольку в этом случае E_n = E_п (1.5), «цепь» тензорных произведений, порождаемых E_n, сводится к последовательности

                                                                        E_n, E_nÄ E_n, E_nÄ E_nÄ E_n,…                                                           (1)

(к которой по-прежнему в качестве нулевой, степени можно присоединить поле скаляров). Иными словами, различие между ко- и контравариантными тензорами исчезает — для каждого целого s³0 теперь имеется один и только один тип тензоров валентности s, а именно тензоры из

                                                                        E_nÄ E_n . . . Ä E_n,

Как и для любого А_п, каждому базису e₁, е₂, ... , е_л пространства E_n можно сопоставить сопряженный базис е¹, е², . .., e^л: еⁱ × е_j = dⁱ_j, с той оговоркой, что оба базиса здесь — базисы одного и того же пространства. Соответственно каждая из систем n² тензоров е_iеj, e_ie^J, ei^ге_j, еⁱе^j является базисом для E_nÄ E_n, каждая из систем п³ тензоров е_iе_jе_k, еi_ге_jе^k, ... , еⁱе^jе^k— бази­сом для E_nÄ E_nÄ E_n и т. д.

Все сказанное в предыдущем параграфе относительно линейных композиций и тензорного умножения аффинных тензоров остается справедливым и в этом случае. Композиции же, о которых шла речь в п. 4 предыдущего параграфа, выполнимы теперь для любых тензоров. В частности, для любых тензоров Т_u и T_v над E_n описанным в разделе 1.9 образом определяются T_u×T_v и T_v×T_u. Точно также для любых тензоров над E_n возможно «свертывание» — каноническое отображение соответствующего из произведений (1) на любое другое из них, расположенное левее на четное число мест. Например, отображение по правилу u^ijе_iе_j -> u^ije_i×e_j сопоставляет каждому двухвалентному тензору скаляр. Подчеркнем, что это — каноническое отображение, т. е. его можно определить вне связи с выбором ба­зиса для E_nÄ E_n.

Напомним теперь, что моделями тензоров могут служить, в частности, полилинейные формы. Пусть I —тензор, моделью которого является метрическая форма (метрический тензор данного E_n). Это равносильно условию, что х ×1 × у = х × у для любых х, у Î E_n. Отсюда следует, что

                                            I = g^ije_ie_j = g_ijeⁱe^j = dⁱ_je_ie^j = d^j_ieⁱe_j,                                               (2)

где g^ij = eⁱ × e^j, g_ij = e_i × e_j. Метрический тензор — единственный такой тензор, что I×Т = Т×I=Т для любого тензора Т над E_n.

С помощью метрического тензора, в частности, осуществля­ются преобразования базисов пространств (1), соответствующие так называемому «жонглированию» индексами. Для   E_n эти преобразования суть переходы от одного из пары взаимно сопряженных базисов к другому. Для любой такой пары, как вытекает из (2),

                                                                     eⁱ = g^ije_j,  e_i = g_ije^j.                                                       (3)

С использованием обоих базисов для любого х Î E_n имеем x = xⁱe_i = x_le^l; отсюда и из (3) xⁱ = g^ijx_j, x_i = g_ijx^j.  Для произвольного преобразования базиса е₁, е₂, ... , е_n и соответствующего ему („сохраняющего" условие сопряжения) преобразования сопряженного базиса справедливы по-прежнему формулы (1) п.1.9; тот факт, что оба базиса являются теперь базисами одного и того же пространства, внешне в этом отношении ничего не изменяет. Компоненты хⁱ и x_i при этом преобразуются по формулам хⁱ = a^i’_ixⁱ и x_i’ = aⁱ_i’x_i точно таким же, какими должны быть формулы преобразования компонент соответственно вектора из А_п и вектора из А*_п, т. е. однова­лентных контра- и ковариантного тензоров, в рассматривавшемся в 1.9 случае. В связи с этим числа хⁱ и x_i обычно называют контра- и ковариантными компонентами вектора х = хⁱе_i = х_ieⁱ в данном базисе пространства E_n. Подчеркнем, что эта терминология имеет в основе лишь чисто внешнее сходство ситуации в обоих случаях: в то время как в предыдущем случае термины «контра- и ковариантный» обозначают элементы различных пространств, в рассматриваемом сейчас случае они относятся к элементам одного и того же пространства, обозначая их компоненты в различных базисах последнего, связанных условием сопряжения.

Аналогичным образом обстоит дело с тензорами и более высокой валентности над E_n. Для E_nÄE_n заданием базиса е₁, е₂, ... , е_n Î E_n, как уже говорилось, определяются четыре, вообще различных базиса, используя которые для любого Т Î E_nÄE_n,   имеем   Т = t^ije_ie_j = t^j_ieⁱe_j = t_ijeⁱe^j.   При этом t^j_i = t^kjg_ik, t^ij = t^j_kg^ki и т. д.

2. Все изложенное в п.1 справедливо для любого E_n — собственно евклидова, псевдоевклидова и комплексного евклидова (а с некоторыми оговорками — и для унитарного, п.1.5) пространства. Различие между геометриями этих разновидностей евклидова пространства проявляется при построении так называемого ортонормированного базиса.

Пусть E_n — собственно евклидово пространство, т. е. вместе с условиями билинейности и симметрии метрической формы выполняется условие х × х > 0.для любого х ¹ 0 из E_n. Тогда, как можно показать, существует, и при том не единственный, такой базис а₁, а₂, ... , а_п Î E_n, сопряженный к которому с ним совпадает:

                                           a_{i ×}  a_j = 0   при  i ¹ j,  при i = j.                                                          (4)

Более того, при п>1 существует бесконечное множество различных базисов, удовлетворяющих условиям (4), которые и называются ортонормированными. Заданием такого базиса определяется один и только один базис для каждого из тензорных произведений (1), так что различие между ко- и контравариантными компонентами тензоров исчезает.

Для комплексного E_n, как уже отмечалось, х × х > 0 при любом х ¹ 0 быть не может (п. 6, 1.5). Тем не менее, и здесь существуют базисы, для которых справедливы все соотношения (4).

В случае же псевдоевклидова пространства дело обстоит иначе. Действительно, если базис а₁, а₂, ..., а_л Î E_n со свойствами (4) существует, то, пользуясь этим базисом, для квадрата длины |х|² = х × х каждого х Î E_n имеем обычную формулу х × х = x₁² + x₂² + . . . + x_n², x_i = x × а_i. Отсюда, для вещественно­го E_n немедленно получается х × х > 0 при любом х ¹ 0, в противоречие с определением псевдоевклидова пространства. В связи с этим для псевдоевклидова E_n второе из условий (4) заменяется иным, а именно ортонормированным называется такой базис а₁, а₂, ... , а_п, для которого a_i × a_j = 0, a_i × a_i = ±1. В соответствии с «законом инерции» для квадратичных форм число векторов базиса, для которых второе из этих соотношений выполняется со знаком минус, одинаково для всех таких базисов, т. е. представляет собой характеристику пространства (называемую его индексом).