1.1. Векторное пространство.

 Пусть R обозначает поле вещественных, С — поле комплексных чисел. Напомним, что вещественное (комплексное) векторное пространство — это совокупность 1) некоторого непустого множества А, 2) поля R (или соответственно С), 3) двух всюду определенных и удовлетворяющих ряду других требова­ний «законов композиций», называемых сложением векторов (элементов множества A ) и умножением векторов на скаляры (числа из R или С). Так как A играет роль основного из «базисных множеств» — множества всех векторов пространства, последнее обычно обозначают тем же символом, что и это множество.

  Достаточно детальное изложение аксиоматики векторного (линейного) пространства можно найти во многих руководствах. Подчеркнем лишь, что эта аксиоматика имеет в основе свойства сложения и умножения на скаляры векторов обычного евклидова пространства. В результате и сама теория векторных пространств состоит во многом из обобщений понятий и построений элементарной векторной алгебры.

Прежде всего, для любых конечных системы векторов х₁ х₂, ... , x_n и системы скаляров а₁ а₂, ... , а_n определена и также является вектором из A композиция a₁x₁ + а₂х₂ +. . . + a_nx_n; вектор å{a_jx_j: j = 1, 2, …, n} называется  линейной комбинацией векторов x₁, х₂, ... , x_n.

Пусть 0 — нулевой вектор. Векторы x_t, x₂, ..., x_k называются линейно независимыми, если å{a_jx_j: j = 1, 2, …, n}  = 0 только   при a_j = 0 для каждого j = 1, 2, ... , n в противном случае x₁, х₂, ... , x_n — линейно зависимые векторы. Нетрудно видеть, что векторы х₁, х_а, ... , x_n линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбина­цией остальных.

Будучи «всюду определенными» законами композиций, сложение и умножение на числа векторов из А определены и для элементов любого непустого подмножества S Ì А. Подмножество в А, которое с такими (индуцированными из А) законами композиций само образует векторное пространство, называется подпространством пространства А Для того чтобы непустое S Ì А было подпространством, необходимо и достаточно, что­бы любая линейная комбинация ax + by при x Î S и y Î S была бы также вектором из S.

Для любого S Ì А существует подпространство, содержащее подмножество S и наименьшее среди подпространств с таким свойством (содержащееся в любом из них). Это подпространство состоит из всевозможных линейных комбинаций векторов из S и называется подпространством, порожденным подмножеством S или натянутым на S или, наконец, линейной оболочкой этого подмножества.

Векторное пространство А называется конечномерным, если существует конечная система векторов из А, порожденное которой подпространство совпадает с А. В этом случае существует также такое, зависящее только от А, неотрицательное целое число dim А, что среди векторов пространства А можно найти dim А линейно независимых, а любые dim А + 1 векторов линей­но зависимы. Конечномерное А с dim А =n называется n-мерным.

В дальнейшем n-мерное векторное пространство будем обозначать, как правило, через А_п. Векторное пространство А бесконечномерно тогда и только тогда, когда для любого целого m>0 найдутся m линейно независимых векторов из А. В этом случае по определению   dim А =¥ (или же dim А обозначает мощность определенного подмножества в А). С различного ро­да дополнительными условиями бесконечномерные векторные пространства изучаются в функциональном анализе.

В соответствии с определением А_п существует n линейно независимых векторов e₁, e₂, ... , е_пÎА_п. С присоединением к ним любого хÎА_п получается система из n+1  векторов и потому  линейно зависимая:   а_ох + å{a_je_j: j=1, 2, …, n} = 0, где не все a₁, a₂, …, a_n равны нулю. Заведомо а_о¹0, ибо в силу линейной  независимости   векторов е₁, е₂, ..., е_n   при  а_о = 0 а_ох + å{a_je_j: j=1, 2, …, n} = 0 истинно только с равенством нулю и всех остальных коэффициентов. Поэтому для любого хÎ А_п имеем х = å{x^je_j: j=1, 2, …, n}, x^j=a_j/a_o. Условимся, как это принято в тензорной алгебре, опускать символ в обозначении сумм такого вида: ­

                                            x = x^je_{j =} x¹e₁ + x²e₂ + … + xⁿe_n                                                     (1)

в роли символа суммирования здесь выступает сам факт повторения индекса j.

Система из п линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства называется его базисом. На основании изложенного любой вектор хÎА_п представим в виде линейной комбинации (1) векторов базиса. Для каждого хÎА_п такое представление единственно: из x=x^je_j = x^j_oej_t имеем (x^j – x^j_o)e_j = 0, откуда в силу линейной независимости векторов базиса х^j₀=х^j. Числа x¹, x², ... , х^п в (1), комплексные или вещественные в зависимости от того, какое из полей С и R играет роль поля скаляров пространства А_п, называются компонентами (или координатами) вектора х в данном базисе для А_п. Из аксиом векторного пространства в совокупности с только что изложенным следует, что

                                       х + у = х^jу_j + y^jе_j = (х^j +y^j)е_j,,   ах = а (х^je_j) = (ах^j)e_j

для любых х, yÎA_n и скаляра а. Отсюда в свою очередь х — у = (х^j—y^j)e_j  0 — вектор, все компоненты которого в любом базисе равны нулю, и т. д.