КАНОНИЗАЦИЯ БИЗНЕСА

Наша философия. Онтологические корни материи как сущего, как объективной реальности независимой от наших ощущений, и её гносеологические корни, её существование, связанное с отражением этого сущего в познании субъекта посредством ощущений, приводят к модели материального мира и, в конечном счёте, к собственно различимым моделям материальных явлений, наблюдаемым. Наблюдаемые реализуются посредством отношений в виде свойств в форме моделей в индивидуальном или общественном сознании. Если мир сущего неограничен, то отражение в общественном сознании ограничено нашими ощущениями, совершенством технический базы ощущений. Каждая наблюдаемая имеет свой атрибут, свою самоорганизацию, структурную определённость, эволюцию, что обеспечивает качественное и количественное многообразие восприятия окружающей действительности. Определим наблюдаемую как объект либо субъект наблюдения - модель сущности, её образ. Примером наблюдаемой, в общем случае, может служить массив данных одномоментной отчётности региональной финансовой системы в виде прямоугольной числовой матрицы. Множество таких матриц составляет пространство наблюдаемых, которые описывают состояния финансовой системы. Обычно это пространство полагается гильбертовым, которое можно рассматривать как дуальное пространство, состоящее из чистых состояний и операторов - наблюдаемых.

Погружение в мир моделей является необходимостью  ориентации в окружающей действительности. Нас интересуют физические объекты, которые определяются инструментально и характеризуются набором определённых свойств, параметров, каждому из которых в соответствие ставится числовая ось. Перевод реального объекта в его образ представим диаграммой (1), где P - приготовление реального объекта как результат (инструментального) наблюдения, A - аналитические (абстрактные) методы исследования (анализ наблюдений), S - синтез материального образа как модели:

P -> A -> S.                                                             (1)

Фундаментом анализа наблюдений служат мате��атические методы, которые при изучении движения материи используют методы классической механики, одного из главных разделов теоретической физики. Методы классической механики лежат и в основе рассмотрения движения с позиции квантового подхода. Суть теоретической механики заключена в операциях над числами и системами чисел и их геометрическими образами, которые вытекают из координатного описания объекта. В теоретической механике отсутствуют определения и измерения реальных величин. Поэтому анализ можно отнести к абстрактным методам, где масса, объём, импульс, скорость, ускорение и сила - числа и системы чисел.

Гносеологические корни материи как философской категории объективной реальности, отражает не только гармонию самой природы, но и характеризует математическое единообразие описания эволюции на всех уровнях её самоорганизации, включая физическую, экономическую, социальную. Здесь находят своё место и взаимоотношения людей. В реальной жизни эти взаимоотношения формируют индивидуальные особенности самого человека, формируют межличностные отношения, трудовые коллективы, различного рода промышленные и финансовые организации, страны. Их взаимодействия могут носить моральную, физическую, психологическую, юридическую основу, определяться экономическими и социальными условиями. Данные реальные объекты как и объекты физического мира отражаются в образах в скалярной, векторной, тензорной форме, а их эволюция описывается полевыми теориями, поскольку полевая переменная формально в обычной механике рассматривается как пространственная координата, а в квантовой механике - как оператор.

Основная задача и её квантовая интерпретация. Перейдём к постановке основной задачи. Проблема любого бизнеса заключается в приобретении товара, его предпродажной подготовке и реализации с получением определённой прибыли. Такое движение можно рассматривать в циклическом представлении марксовой моделью Q → P → Q.  Очевидно, что импульсом для такого бизнеса в каждым торговом цикле служат цены: цена p_b закупки и цена реализации p. Если цена закупки сохраняется в данном периоде, то цену продажи товара в течении фиксированного периода можно полагать зависимой от времени p = p(t). Импульс служит предпосылкой интенсивности продаж ̇q_r.  А общий объём реализованного товара q_r = q(t) определяется разностью между объёмами закупок q_b и остатков q_g. Выручку за период, который примем за единицу измерения времени, можно вычислить по формуле 

T = p*q                                                                 (2) 

При этом, за данную единицу времени можно определить доход с оборота

L = T - V,                                                                (3)

где величина

V = p_b*q_g                                                                 (4)

характеризует потенциальные возможности его роста. Тогда, полный доход, вместе с нереализованными возможностями, составит величину

H = T + V.                                                              (5)

Оставаясь в рамках линейной модели, условия того, что объём реализованного товара определяется его остатками, а цена закупок зависит от цен реализа��ии, можно записать в виде q_r = Rq и, соответственно, p_b = Bp. Если, к тому же, определить вероятностную стратегию ценовой политики продаж ɑ (p = Φa) и вероятностную политику остатков b (q = Ψb), то величина (5) принимает вид

H = a*Wb,                                                              (6)

где матрица плотности представляется суммой двух матриц

W = W₁ + W₂,     W_{1 =} Φ*RΨ,      W₂ = Φ*BΨ,                               (7)

а составляющие правой части равны соответственно

T = a*W₁b,        V = a*W₂b.                                               (8)

Отсюда следует, что выражение (6) задаёт оптимизационную функцию H = H₁ + H₂ нормальной формы  биматричной игры, в которой первое слагаемое требуется максимизировать, а второе - минимизировать.

Рассмотрим представленную выше задачу в модельной форме (см. табл. 1), которая сводится к матричной игре с матрицей W = [2.45 2.65 2.58;2.54 2.48 2.68].

Таблица 1.

Решение данной задачи показывает, что она, как игровая ситуация, имеет решение в смешенных стратегиях продаж, с доходом лежащим в пределах 2.48 < H < 2.54.  Её решение определяет стратегию экономического поведения и получаемый оптимальный доход. В данной ситуации на каждые две реализации продукции по цене  0,25 условных единиц стоимости в среднем должна приходится приблизительно одна реализация продукции по цене 0.26 усл. ед. При этом в остатках в среднем будет не более 2-х усл. ед. товара. Доход в среднем составит

 λ = 2.52

 усл. ед. стоимости.

Из изложенного выше видим, что классическую задачу бизнеса можно свести к задаче математической теории игр, которая берёт начало от неоклассической экономики и которая впервые была представлена книгой Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна в 1944 году. В своих работах по математической теории игр Нейман не только применяет формальный методы дираковской квантовой механики, но опирается и на свой вклад в разработку квантовой физики. Покажем, что данную задачу можно интерпретировать и как задачу квантовой механики.

Учитывая, что реализация зависят от предлагаемых цен за товар, а закупочные цены связаны с объёмами остатков, если эти зависимости представить в виде

q_r =Qp,     p_b = Pq,                                                      (9)

то выражение (6) можно записать в форме

 H = p*Qp + q*Pq.                                                      (10)

В простейшем случае (10) представляется гамильтонианом одномерного гармонического осциллятора

H = p²/2m + cq²,                                                         (11)

где, с механической точки зрения, функция дохода интерпретируется энергетическим уровнем этого  осциллятора. В этом случае на энергетическом языке можно объяснять и каждое слагаемое правой части данной функции и весь циклический товарооборот  в (10) представить большим числом простых гармонических осцилляторов и в среднем рассматривать модель как простой гармонический осциллятор.

Выражение (11) представляет сумму кинетической

T =  p*Qp = p² /2m                                                          (12)

и потенциальной функций такого осциллятора

V = q*Pq = q²                                                            (13)

 Если для гамильтониана ввести новую энергетическую функцию 

Ω = H^1/2,                                                                  (14)

то приходим к уравнению

Ω² =  p² + q²,                                                           (15)

которое совпадает с уравнением (19.1) и детально исследовано в монографии [8]. Здесь величина p определяется как импульс цен, а величина q - как масса покоя продукции. Вектор остатков q продукции и вектор p цен взаимно связаны. Связаны и их структурные отношения, которые характеризуют направления этих векторов. Величина изменения направления вектора остатков продукции при изменении вектора цен определяется как спин остатков. В работе [9] Дираком, опираясь на уравнение вида (15), предложен метод для изучения поведения элементарных частиц. По аналогии этот метод, например, можно использовать для исследования влияния изменения цен на изменение спина вектора остаточной продукции.

Из соотношения (6) и табл. 1 следует, что формально можно положить H = W, т.е. считать, что гамильтониан задачи суть матрица данных

H = [2.45    2.65    2.58; 2.54    2.48    2.68].

Тогда кинетическая и потенциальная части гамильтониана также будут представлены матрицами

T = [2.25    2.25    2.00; 2.34    2.08    2.08],    V = [0.20    0.40    0.58; 0.20    0.40    0.60]

и (6) записывается математическим соотношением в операторной форме. Таким образом, равенство теоретической механики (6) переходит в соотношение операторов квантовой механики. Как следствие заключаем, что интерпретация задачи в постановке теоретической механики, квантовой физики и теории игр взаимно связаны.

Канонизация основной задачи. Будем предыдущую задачу рассматривать как цикл обращения капитала в объёме K. Тогда выражение этого капитала в закупочной стоимости p_b товара в объёме q_b составит величину

K = p_bq_b.                                                                  (16)

Вступая в контакт с потребителем часть q_r закупленного товара приобретает новую стоимость p_r. Таким образом вырученные средства с одного цикла обращения капитала определяться выражением

T = p_rq_r .                                                                   (17)

Если предполагать, что продажа товара в расчётном периоде нарастает линейно от нулевого значения до значения  ̇q_r, то за единичный период наблюдения будем иметь (см. в конце работы примечание) приближённую зависимость

 q_r = ̇q_r/2.                                                                  (18)

При этом, величину ̇q_r интенсивности продаж можно принять за скорость товарооборота в рассматриваемом периоде. Допуская, что интенсивность продаж пропорциональна ценам

 ̇q_r = mp_r,                                                                  (19)

выражение для динамической части (17) товарооборота примет вид

T = p_r ̇q_r/2 = p_r²/2m.                                                        (20)

Теперь выражение для полного дохода (6) можно записать как зависимость только от цен p = p_r = p(t) и объёма реализации продукции q = q_r = q(t) (последний определяет функцию (4) потенциальных возможностей V = V(q)

H = H(q, p) = p²/2m + V(q).                                               (21)

Функция (21) определяется как гамильтониан задачи.

Перепишем функцию (3) в виде

L = m ̇q²/2 - V(q) = L(q,  ̇q).                                                 (22)

Её назовём лагранжианом. Очевидно, между гамильтонианом (21) и лагранжианом (22) имеется связь

H = 2T - L,                                                                (23)

которая с учётом соотношения (20) принимает вид

H = p ̇q - L.                                                                 (24)

Из (24) заключаем, что гамильтониан и лагранжиан связаны дуальными соответствиями

p = ∂L/∂q̇,  H = p ̇q - L;    ̇q =∂H/∂p,  L = p ̇q - H.                              (25)

Уравнения (25) описывают движение цен и товаров посредством двух функций H и L, связанных равенством (24). Если воспользоваться уравнением движения Лагранжа, то это движение можно записать в виде канонических уравнений Гамильтона

̇q =∂H/∂p,     ̇p = - ∂H/∂q,                                                   (26)

правые части которых определяются посредством функции Гамильтона и уже не содержат интенсивностей движения товаров. Приходим к заключению, что исходная экономическая задача сводится к задаче управления ценой и количеством продаж как в обычной постановке задачи классической механики, так и в игровой и квантовой интерпретации.

Действительно, для (21) в квантовой матричной интерпретации элементы p и q должны удовлетворять соотношению Гейзенберга

qp - pq = ih,                                                              (27)

где h некоторый масштабный коэффициент. Тогда  имеем

q̇ = (qH - Hq)/ih = p/m,     ṗ = (pH = Hp)/ih = - V'(q).                           (28)

Соотношения (28) формально совпадают с (26), но равенства (28) определяются посредством операторов, наблюдаемых, а соотношения классической механики (26) выполняются в собственных значениях этих наблюдаемых, что отвечает построчным расчётам в табл. 1. Использование соотношений классической механики не будет вызывать сомнений, если операторы цен и товаров коммутируют друг с другом. В этом случае масштабный коэффициент пренебрежимо мал, т.е. практически равен нулю. Первое равенство (28) подтверждает предположение (19) того, что цена является импульсом изменения продаж и что для изменения интенсивности продаж следует приложить некоторые усилия F, т.е. получаем геометрическое уравнение механики

d(mq̇)/dt = F(q),        F(q) = F₁(q) + F₂(q) + ... + F_n(q).                         (29) 

А допуская, что правая часть уравнения (29) характеризуется аддитивной функцией,

q = q₁ + q₂ + ... + q_n

и имеют место равенства

F_i(q) = F(q_i),                                                                (30)

заключаем, что (29) можно рассматривать как систему уравнений

d(mq̇_i)/dt = F(q_i).                                                            (31)

В эти соотношения входит величина m, которую по аналогии с соответствующей величиной в теоретической механике назовём массой. Для её определения каждому объёму закупаемого товара q_b поставим в соответствие определённое положительное число. Это число связано с объёмом закупаемой продукции в данном периоде и, следовательно, не зависит от времени. Будем полагать, что оно прямо пропорционально связано с ростом закупки и аддитивно, т.е. каждой части объёма отвечает своё массовое число, свои условные единицы измерения. При V₂ > V₁, m₂ > m₁,  и имеет место свойство

m = lim_∆V→0 ∑_V ∆m = ∫_V dm.                                                  (32)

Следовательно в данном случае массовое число связано с объёмом продукции. Из вытекающего из (19) отношения q̇ = p/m следует, что при фиксированной цене большему объёму продаж отвечает меньшая скорость реализации, т.е. при реализации продукции массовое число, соответствующее объёму товара, обладает свойством инерции.

В общем случае, допуская механическое толкование задачи, удобно функцию Гамильтона (21) называть полной энергией системы.

Рассмотрим реализацию товара с нескольких торговых точек. Не нарушая общности изложения, будем полагать, что имеется таких точек две. Естественно представить полный товарооборот  в выбранных единицах стоимости  за период наблюдения в виде суммы товарооборота через каждую торговую точку и упущенных потенциальных возможностей

H = T₁ + T₂ + V,                                                             (33)

где динамические характеристики определяются функциями ценовой политики на торговых точках

T_i = T_i(p_i) = p_i²/2m_i,                                                        (34)

а упущенные возможности определяются потенциальной функцией товарооборота V = V(q).

Две торговые точки представляют систему, которая имеет как степени свободы относительно внешней среды, где состояние товарооборота системы оценивается из вне, в целом, этот показатель в гамильтониане (33) назовём трансляцией и обозначим H_ТР, так и имеет степени свободы внутренние, которые связаны со структурным различием товарооборота в данных точках и его структурными колебаниями. Эти характеристики в (33) назовём вращением H_ВР и колебанием H_КОЛ, т.е. имеет место расслоение

 H = H_ТР + H_ВР + H_КОЛ .                                                      (35)

Для представления выражения (33) в виде (35) введём скалярную условную характеристику "расстояния" между торговыми точками r = |q²|^1/2, q = q₁ - q₂, где q_i - товарооборот в соответствующей точке, и величины

P = p₁ + p₂,  M = m₁ + m₂,   p = (m₁p₁ + m₂p₂) / M,   m = m₁m₂ / M.                      (36)

Для динамической части (33) получаем разложение

T₁ + T₂ =  P² / 2M  + p² / 2m.                                                 (37)

Здесь первое слагаемое правой части определяет внешнюю трансляционную часть дохода

H_ТР = P² / 2M.                                                           (38)

Второе слагаемое характеризует кинетическую часть дохода, связанную с внутренней степенью свободы системы.

Выражение векторной алгебры

p = (q²)^-1[q(qp) - q×(q×p)]                                                  (39)

разбивает оператор p на две составляющие, первая из которых коллинеарная оператору q, вторая - ортогональна ему. Выражение, которое получается после умножения (39) на оператор цен p, с учётом соотношения (27) приводится к виду

p² = [(q×p)² + (qp - ih)(qp)] / r².                                           (40)

Отсюда находим составляющую вращений

H_ВР = (q×p)² / 2mr²                                                  (41)

и составляющую гармонической осцилляции

H_КОЛ = p_r²/2mr² + V(q),                                              (42)

где введено обозначение                       

p_r² = (qp)*(qp) = (qp - ih)(qp).                                        (43) 

 Естественно будет записать это соотношение в виде

p_r² = (qp)²,                                                          (44)

рассматривая его как скалярный квадрат и полагая p эрмитовым оператором.

Теорема сохранения капитала как следствие канонических уравнений (28). Функция Гамильтона (5) реализует динамику товарно-денежных отношений в бизнесе. В этом аддитивном выражении первый член правой части определяет реализованный товар в ценах продаж. Второе слагаемое зависит только от остатков продукции. Отсюда находим равенство градиентов

∂_qH =  ∂_qV.                                                         (45)

Соотношение (19), выраженное посредством массы реализованных товаров, характеризует количество движения товаров в данной динамике товарных отношений, а с учётом последнего соотношения в канонических уравнениях (28) заключаем, что изменение количества движения обратно градиенту потенциала, т.е.

d(ṁq)/dt = - ∂_qV.                                                  (46)

Таким образом уравнение динамики (29) показывает, что движущими силами бизнеса являются потенциальные возможности рынка

F(q) = - ∂_qV(q).                                                    (47)

Предположим, что движущие силы консервативны, т.е. не зависят явно от времени. Тогда имеем

dH/dt = ̇q ∂_qH + ̇p ∂_pH = ∂_pH ∂_qH - ∂_qH ∂_pH = 0.                           (48)

Отсюда следует

H = const = E                                                    (49)

и эволюция стационарна. Величина E является собственным значением  оператора H, т.е. характеризует одно из возможных значений дохода бизнессистемы. Определяя метрическую функцию выражением ψ, в рамках выбранной метрики приходим к уравнению

Hψ = Eψ,                                                        (50)

которое можно рассматривать как задачу на собственные значения оператора H.

Соотношение (49) называется "теоремой о сохранении энергии". 

В представленном выше примере (см. табл. 1) оператор H является прямоугольной матрицей H = [2.45    2.65    2.58; 2.54    2.48    2.68], которую строкой нулей можно дополнить до квадратной. За исключением нулевого значения этот оператор имеет два собственных значения E₁ = 5.06 и E₂ = - 0.13. Им отвечают два взаимно ортогональных собственных вектора ψ₁ = [1; 1] и ψ = [1; -1]. Но, из экономического смысла задачи находим, что имеет место только положительное собственное значение

E = E₁ = 5.                                                         (51)

Уравнение (49) имеет интересную интерпретацию. Если рассматривать его как решение движения уравнений Гамильтона, то это будет первым их интегралом

H(q, p) = E,                                                       (52)

который в бесконечном 2n-мерном пространстве координат и импульсов при фиксированном значении E определяет в этом пространстве некоторую поверхность. Если константа E может принимать множество различных числовых значений, то будем иметь множество непересекающихся между собою семейство поверхностей, которые будут заполнять всё пространство. Данное пространство называется фазовым, а уравнению (52) отвечает фазовая изоэнергетическая поверхность. Если функция Гамильтона не зависит от времени, то говорят, что система находится в стационарном движении. Стационарное движение системы таково, что множество её всех возможных состояний находится все время на изоэнергетической поверхности H = E и, чтобы перейти на новый энергетический уровень, нужно приложить новое усилие (45), т.е. усилие должно явно зависеть от временного фактора. В этом случае и потенциальная функция должна явно зависеть от времени. В таком случае, усилие даёт системе возможность перейти на другой изопотенциальный уровень.

Если рассматривать приведённую выше числовую задачу в игровой интерпретации, то имеем две стратегии: стратегию управления ценами a = [0.234;0.768]  и стратегию управления остатками b = [0.654; 0.348; 0.00]. В матрице H второй и третий столбцы практически линейно зависимы. Отбрасывая третий столбец, переходим в двумерное пространство с матрицей игры

H = [2.45    2.65; 2.54    2.48]                                (53)

и стратегией игроков

a = [0.234;0.768],     b = [0.654; 0.348].                   (54)

Из приближённого равенства произведений

H'a = Hb = λs,   s = [1; 1], λ = 2.52                       (55)

следует приближённое равенство между ценой игры λ и собственным значением игровой матрицы

E = 2λ.                                              (56)

Полученное красивое приближённое числовое равенство (56)  для данной задачи с погрешностью менее 0.5% как бы устанавливает связь между постановкой задачи в игровой форме и её интерпретацией в классической и квантовой механике. Жаль только, что в общем случае это соотношение не подтверждается.

Задача бизнеса и основное метрическое тождество. Рассмотрим соотношение (40). Оно содержит два оператора: оператор цен p и оператор различия продаж q = q₂ - q₁ на торговых точках. Но оператор q₁ может служить простым эталоном в оценках отклонения продаж. Более того, он может служить нулевым оператором, т.е. являться нулевой точкой, принятой в системе отсчёта продаж. В последнем случае видим, что цены как импульс стимулируют в свою очередь продажи, т.е. служат импульсом продаж. Направление динамики продаж в силу, например, различной  покомпонентной инерционности не всегда пропорциональна импульсу цен. Появляется структурное расхождение. В этом случае будем говорить о появлении спина - структурного отклонения между направлениями вектора цен и вектора продаж.

Представим соотношение (40) в виде

p² q² = (qp)² + (q×p)²                                                                        (57)

и введём метрическую статистическую оценку взаимодействия оператора цен и оператора продаж

µ(p, q) = qp                                                        (58)

и соответствующие оценки

D(p) = σ²(p) = p²,   D(q) = σ²(q) = q².                                      (59)

Второй оператор в правой части тождества (57) будет оператором Грама

 Γ(p, q) = (q×p)² = ν²,                                                           (60)

который совпадает с квадратом момента количества движения товаров под действием данного оператора цен

L = L(q, p) =  q×p.                                                 (61)

Если ввести среднеквадратическую оценку

σ(p, q) =  σ(p)σ(q),                                                  (62)

то соотношение (57) можно представить тождеством Пифагора

σ² = µ² + ν²,                                                     (63)

которое, естественно, можно рассматривать как операторное равенство.

Метрическая функция осцилляции.  Метрическую  функцию (35) с учётом представлений (41) и (42) запишем в виде

µ(q, p) = H = cq² + p²/2m.                                        (64)

Метрические функции такого вида получаются, в частности, при моделировании динамики осцилляционных процессов. Эта форма модели имеет аддитивную факторизацию. Если ввести замену переменных

q = u/ω,           p = mv                                             (65)

где введено обозначение

ω = (2c/m),                                                        (66)

то метрическая функция (64) как гамильтониан принимает вид

H = mA.                                                           (67)

Здесь

A = (u² + v²)/2.                                                (68)

Эта форма выражения (67) по-прежнему аддитивна. Ей можно придать известный кинетический вид, если ввести скалярный квадрат вектора

w = [u; v]                                                     (69)

H = mw²/2.                                                   (70)

 Скалярный квадрат вектора (69) запишем в матричной форме в виде произведения

w² = ww*.                                                   (80)

Полагая операторы u и v самосопряжёнными, определим комплексные эрмитово сопряжённые операторы

w = u + iv,     w* = u – iv.                                   (81)

и введём эрмитово сопряжённые операторы

Φ = w/2^1/2,   Φ* = w*/2^1/2.                               (83)

которые связаны с компонентами вектора (69) зависимостями

Φ = (u + iv)/2^1/2,    Φ* = (u – iv)/2^1/2,                        (84)

и из которых следуют выражения

u =  (Φ + Φ*)/2^1/2,     v = (Φ – Φ*)/i2^1/2.                   (85)

Найдём выражение для оператора (68) через компоненты (84).

A = (u² + v²)/2 = 1/4 [(Φ + Φ*)( Φ + Φ*) – (Φ – Φ*)( Φ – Φ*)] =

= 1/2 (Φ Φ* + Φ*Φ).                                       (86)                         

Полагая, что функции (84) связаны соотношением Гейзенберга

Φ Φ* – Φ Φ* = I,                                  (87)

где I – тождественный оператор, будем иметь

A = Λ + ½I.                                        (88)

Здесь введено обозначение

Λ = Φ*Φ.                                           (89)

В силу равенства Гейзенберга (87) коммутация оператора (89) с каждым метрическим оператором (83) определяет соответствующий оператор. Например, имеем

ΦΛ – ΛΦ = (ΦΦ*)Φ – (Φ*Φ)Φ = (ΦΦ* - Φ*Φ)Φ = IΦ = Φ.           (90)

Выполняя в данном равенстве операцию сопряжения и учитывая эрмитову сопряжённость оператора Λ, приходим к равенству

Φ*Λ – ΛΦ* = - Φ*.                                      (91)

Другие коммуникационный соотношения можно получить из соотношений (87), (90) и (91) методом индукции. Например, имеем

ΦⁿΦ* - Φ*Φⁿ = nΦ^n-1,              ΦⁿΛ – ΛΦⁿ = nΦⁿ,                  (92)                                            (Φ*)ⁿΦ – Φ(Φ*)ⁿ = - n(Φ*)^n-1,    (Φ*)²A – A(Φ*)² = - n(Φ*)ⁿ        (93)

Если ввести обозначения B_k = (Φ*)^kΦ^k и С_k = Φ^k(Φ*)^k, где k определяет натуральное число, то из второго соотношения (92) следует равенство

B_k = Λ(Λ – I) … [Λ – (k – 1)I],                            (94)

а из второго равенства (93) – равенство

C_k = (Λ + I)(Λ +2I) … (Λ + kI).                           (95)

Пусть φ произвольная нормированная функция такая, что величина λ является средним значением оператора Λ, т.е. φ*Λφ = λ. Тогда величина λ будет собстве��ным числом оператора Λ. Последовательно можно найти среднее значение оператора (94) для любого k:

b_k(λ) = φ*B_kφ = λ (λ – 1) … (λ – k + 1).                         (96)

Предположим, что φ собственный вектор оператора Λ, соответствующий собственному значению λ = 0. Тогда из условия Λφ = 0 следует

с_k(λ =0) = φ* C_kφ = k!.                                      (97)

Собственные числа и собственные функции играют важную роль при описании энергетических уровней систем. Последовательность собственных функций операторов (64), (68) и (89) одна и та же, а их соответствующие собственные значения зависимы.

Предположим, что система собственных функций нормирована и φ_λ является произвольной функцией этой последовательности, которой соответствует собственное значение λ оператора Λ. Из того, что величина λ является средней величиной оператора Λ, которая определяется формулой

λ = φ_λ*Λ φ_λ = ||Φ φ_λ||²                                       (98)

заключаем, что все собственные значения оператора Λ неотрицательны. Более того, оценки операторов (64), (68) и (89)

φ_λ*H φ_λ = m φ_λ*A φ_λ = m(φ_λ*Λ φ_λ + ½) ≥ m/2                     (99)

показывают, что последовательность собственных значений ограничена снизу и наименьшему собственному значению λ = 0 оператора Λ отвечает собственная функция φ₀, удовлетворяющая уравнению

Λφ₀ = 0.                                                (100)

Если для оператора Λ составить характеристическую матрицу Λ - λI, то соотношение (96) при k = n будет характеристическим многочленом данного оператора. Отсюда следует последовательность его собственных чисел: k = 0, 1, 2, …, n - 1. А, имея уравнение (100) для минимальной собственной функции φ₀ и опираясь на соотношения (95), легко найти ортонормированную последовательность собственных функций данного оператора, определённую посредством минимальной собственной функции.

Действительно, имеем

φ₀*C_kφ₀  =  φ₀*Φ^k(Φ*)^kφ₀ =k!.                            (101)

Отсюда находим для приведённой выше последовательности собственных чисел последовательность ортонормированных собственных функций эрмитова оператора Λ:

Φ_k = (k!)^-1/2(Φ*)^kφ₀.                                            (102)

Окончательное выражение для последовательности собственных функций найдем, если соответственно каждую из членов последовательности (102) умножим на степень α^k произвольного комплексного числа α с единичным модулем

φ_k = α^k(k!)^-1/2(Φ*)^kφ₀.                                       (103)

Волновые функции гармонического осциллятора. Для координатной и импульсной переменных в операторах (81) введём обозначения u =  x и v = iÑ_x, соответственно и,  рассматривая первое выражение в формулах (85), уравнение (100) для собственная функция φ₀ запишем в виде

2^1/2 Φφ₀ = (x + Ñ_x) φ₀ = 0.                                (104)

Определим его общее решение

φ₀ = Cexp(x²/2)                                       (105)

и, воспользовавшись нормировкой

|| φ₀||² = ∫_R | φ₀|²dx =1,                                (106)

определим искомую собственную функцию

 φ₀ = π^-1/2 exp(x²/2).                                  (107)

Для окончательного нахождения последовательности собственных функций оператора Λ воспользуемся операторным равенством

(w*)^k = (x - Ñ_x)^k = (-1)^kexp(x²) (Ñ_x )^kexp(-x²).                    (108)

___________________________________________________________________________________________ 

Примечание. Предположим, что функция

y = f(x)

монотонно возрастает (кривая ODB) и требуется найти площадь криволинейного треугольника OAB. Площадь этого треугольника будет равна товарообороту

q = ∫ y dx 

за период интегрирования. Здесь интегрирование проводится в пределах от нуля до единицы (рис.1).

Рис. 1. К установлению связи между интенсивностью и товарооборотом (16).

Из рис. 1 видим, что эта площадь приближённо равна произведению средней линии CD на длину интервала интегрирования, т.е.

q = ̇q / 2.