ФИЛОСОФИЯ СОЦИАЛЬНЫХ НАУК

Вероятно, потребность иметь целостную картину окружающего мира возникла у человека с его появлением как мыслящего существа и стала основой духовной жизни всего мыслящего человечества. Желание понять суть загадочного, неведомого в окружающем мире «являло собой склонность к зачаточному философскому мышлению, пусть даже пока на житейском уровне» [1], и формировало сознание, как отдельного человека, так и всего социума. В сознании картина реального мира моделировалась в качестве чувственных образов происходящих явлений в соответствии со спецификой первобытного сознания отражать любые явления на основе дуальной симметрии, антиномий (как явление и его ортогональное дополнение). Возможно, это напрямую связано с бинарной оцифровкой передачи возбуждения элементарной частицей строения человеческого мозга – нейроном. К таким реликтовым антиномиям в ощущениях можно отнести понятия: светло – темно, видим – невидим, тепло – холодно, прилив – отлив, зло – добро, моё – твоё и т.п. Которые абстрактно реализуются в форме элементарных двоичных математических операций (в стаде H – семь гусей, X – четыре гуся моих, X^{^} - три гуся твоих, итого: H = X + X^{^}). Находясь в закрытом помещении и желая узнать, что находится с наружи этого помещения, задаём вопросы темно или светло на улице, холодно или тепло, идут или нет осадки и т.п. На каждый подобный вопрос получаем по одному биту информации. В результате рассуждений создаем представление о том какая на улице погода, день там или ночь, тепло или холодно, т.е. в сознании формируется некоторое представление (модель) о внешней среде.

Двухуровневый процесс интеллекта (как мыслительной деятельности – рассудка и разума) был представлен И. Кантом в его трёхуровневой схеме формирования сознания: «Всякое наше знание начинается с чувств, переходит затем к рассудку и заканчивается в разуме, выше которого нет в нас ничего для обработки материала созерцаний и для подведения его под высшее единство мышления» [2]. Здесь подразумевается, что «разум – это способность многогранно мыслить, процесс, выделяющий решающие звенья, через которые можно воздействовать на основное противоречие, детерминирующее его развитие» [3].

В данной интерпретации отражение окружающей действительности в сознании человека можно представить работой нейронной сети [4], простейшим вариантом которой является персептрон Розенблата. В такой сети отражённые на синапсах дендритов ядер нейронов нижнего уровня чувственные сигналы наблюдаемого явления в форме сигналов этих ядер посредством их аксонов поступают в разделительный транзитный (рассудочный) слой, в котором происходит их анализ. Результаты анализа, в виде сигналов возбуждения ядер нейронов промежуточного слоя, передаются нейронам верхнего слоя, где происходит фиксация их в форме синтеза сознанием разумного образа исходного явления, который и служит продуктом сознания, сущностью, моделью чувственного явления. Будучи высшей формой теоретического познания, разум, в соответствии с принципом восхождения от абстрактного к конкретному, добивается более полной теоретической реконструкции объектов (в том числе и с помощью обратной связи). Опираясь на рассудок, разум выступает как творческий, познавательный вид деятельности, раскрывающий в сознании сущность действительности. Посредством разума мышление синтезирует результаты познания, С другой стороны, дихотомическая структура антиномий, заложенная в основу рассудочной деятельности, неизбежно приводит к индивидуализации явления как единичного и как части единого, к представлению внутренней взаимосвязи частей и понятию меры.

Оставаясь на позиции автора [1], будем исходить из того, что материальное, в его классическом понимании ([5], [6]), и идеальное (апеллирующее к разуму и воле), признающие основой бытие, - «совечно единое сущее» является нам в виде продукта сознания. Явление сущего возникает в сознании в виде содержательной формы. При этом форма и её содержание имеют самостоятельную активность. Форма выступает в виде некоторой внешней интегральной количественной характеристики явления, а содержание – внутренней дифференциальной качественной. Эти характеристики взаимно обусловлены и одинаково существенны. Их взаимная обусловленность носит топологический характер (опирается на меру), который сводится к тому, что одна из них, количественная характеристика, квантуется линейно, в то время как вторая, качественная, квантуется циклически [7]. Таким образом, сущность в сознании с одной стороны возникает как количественная определённость качества, с другой - как качественная определённость количества. Их самостоятельная активность проявляется в том, что в динамическом варианте от временного параметра могут явно зависеть обе характеристики.

Реальное явление в сознании представляется неким образом, оценить который можно лишь путём сопоставления с другими образами сознания по форме и содержанию. Так появляется эталон (или чистое состояние [8]), основное назначение которого заключается в том, что содержащаяся в нём информация определённого рода служит для построения бинарной оценки [9] аналогичной информации в фиксированном образе. Последнее включает данный нам образ во всеобщую связь, где он обретает свой смысл путём сопоставления с другими данными нам в ощущениях априорными образами. И, таким способом, с помощью метрических отношений, отражение реального объекта наблюдения находит своё место в сознании, в структуре отражения реального мира, в котором формируется система общих взглядов на окружающую действительность и место человека в этом мире – мировоззренческая философия как наука.

Если рассматривать человеческие знания как науку, то увидим, что в основе этой науки лежало изучение природы (физика), а позднее – изучение человеческого общества. Обнаруживаем, что преемственность в развитии этой науки осуществлялась с помощью абстрактного мышления, одним из важнейших инструментов которого служила математика. В своём развитии знания человека о природе и математика, взаимно развиваясь, обогащали друг друга. И недаром, первым человеком, который назвал себя "философом", был Пифагор, известный каждому мало-мальски грамотному человеку как великий математик. Особо подчеркнём, что "заслугой пифагорейцев было выдвижение мысли о количественных закономерностях развития мира, что содействовало развитию математических, физических астрономических, географических знаний".

Философию можно сравнить с тришкиным кафтаном, в которую одеты человеческие знания и на котором отдельные науки представляются в виде заплат. С ростом знаний – кафтан трещал по швам, появлялись новые заплаты и увеличивались старые. Самая большая из них – это наука о природе, физика. Естественно, что как старые науки-заплаты, так и вновь появляющиеся, содержали количественные закономерности в своём развитии, что взаимно их обогащало и давало новый толчок к развитию как математики, так и отдельных наук. В первой половине двадцатого века физика приобретает такое стремительное развитие, что уже претендует на весь кафтан. Появляются и универсальные количественные методы – математическая физика, которые проникают в другие науки под видом физических методов. Возникают такие науки, как геофизика, физическая химия. Физика, а вместе с ней и количественные методы, выпадают из философии. Полем деятельности, которой ещё остаются такие науки как социология, экономика, право. Но, посредством своих количественных методов физика проникает и в эти науки под видом социальной физики, эконофизики, физической криминологии и т.п., стараясь, тем самым, окончательно "офизичить" философский "кафтан науки".

Произошло то, что физика вышла из философии как "науки наук", заодно прихватив с собой и абстрактные (математические) методы. Ещё Огюст Конт в первой половине девятнадцатого века в своём "Курсе позитивной философии" писал, что "изучая развитие человеческого разума... от первого его проявления до наших дней, думаю, я открыл великий основной закон, по которому с неизменной необходимостью можно установить как путем наших рациональных доказательств, так и путем внимательного анализа прошлого, историческую достоверность. Этот закон состоит в том, что каждое из наших основных понятий проходит, необходимым образом, три теоретически различных стадии: стадию теологическую, или фиктивную; стадию метафизическую, или абстрактную; стадию научную, или позитивную... Отсюда три типа философии, или концептуальных систем, обобщающих феномены, взаимно исключающих друг друга. Первая — начальный пункт, необходимый для человеческого понимания (intelligentia), третья — фиксированная и определенная стадия, а вторая уготована служить в качестве транзитного пункта". Закон можно изобразить диаграммой

Таким образом, абстрактная, позитивная (рассудочная) логика является сердцевиной любой науки, любой философии. Как видим, эта часть философии опирается на количественные закономерности развития мира. Изъять её – это всё равно, что вырезать сердце у живого организма. Здесь уместно процитировать слова великого философа, физика и математика восемнадцатого века Эммануила Канта, что "в каждой науке столько науки сколько в ней математики". Лишившись этого "транзитного пункта", философия лишилась своего образа как науки наук. Физика же всё больше и больше с помощью своих количественных методов стала брать на себя роль "тришкиного кафтана".

Действительно, оценить товар или поведение человека можно только путём сравнения с другими товарами или с поведением окружающих данного человека других людей. При этом такие оценки строятся на многообразии наблюдений, при статистической обработке результатов этих наблюдений. Если обратиться к физике, то это последнее слово в теоретических разработках – квантовая физика, в частности, с её первым разделом – нерелятивистской квантовой механикой, в основу которой заложен принцип суперпозиции состояний как средней величины результатов наблюдений. Этот математический приём настолько сросся с самой дисциплиной, что трудно из неё выделить абстрактные методы. Хотя нужно отдать должное автору монографии [10], где, по существу, эти математические методы рафинируются, освобождаясь в своей сути от физической интерпретации. Однако на данном этапе их изложение вызывает значительные трудности в перенесении их в сердцевину исследования социальных процессов и снова упирается в методы философии. Применение квантовой физики стало возможным в связи с развитием статистической физики - науки о средней величине. Существует много приёмов в переносе физического описания явлений окружающего мира на описание и решение социально - экономических задач. На наш взгляд, диаметрально противоположными методами можно считать перенос свойств атомного физического представления строения мира в данную сферу, с одной стороны, и применение методов математической статистики, с другой [11]. Однако, все представления физического подхода к решению этого вида задач опираются на количественные методы. Мысли пифагорейцев о количественных закономерностях развития мира попробуем реализовать в рамках антиномий философии Гегеля [12] в применении их к социальным процессам.

Хорошо известно, что любое явление выступает как некоторая форма, наделённая определённым содержанием. Форма – интегральная количественная характеристика явления. Содержание – его внутренняя, качественная дифференциальная характеристика. Как нет формы без содержания, так нет и содержания без формы. Например, мы говорим, стадо коров, скорость автомобиля 40 км/час. Для формы, понимая её как гомотопическую эквиваленсию [13], введём обозначение q, полагая, что эта величина принадлежит полю K (в данной работе K - множество действительных или комплексных чисел), а содержание – качественную величину, обозначим величиной Y. Из примеров следует, что отношение формы и содержания в тривиальном случае можно представить мультипликативной формой. Так, если явления x суть качественно Y определённое количество q, то такая форма записи будет иметь вид

В общем случае это выражение можно рассматривать как левый K-модуль [14]. Мы рассматриваем данную композицию коммутативной

т.е. если стоимость конфет s = 140 руб/кг, то можем сказать, что в рублях стоимость килограмма данных конфет равна сто сорока. Видим, что количественная величина и качественная характеристика одного и того же явления взаимозависимы, если при описании изменяем единицу измерения количественной характеристики, то меняется и качественная характеристика. Отсюда делаем вывод, что единство качества и количества заключено в мере [15]. Однако, эта зависимость лежит гораздо глубжи. Самостоятельная активность качества и количества проявляется в том, что в динамическом варианте от временного параметра t Î T явно зависят обе характеристики. Таким образом, качественную определённость количества и количественную определённость качества, а так же их самостоятельную активность, можно описать соотношениями

Рассмотрим дихотомическую структуру X как замкнутое множество, содержащее множество X₁ и множество X₂ - его ортогональное дополнение в X, т. е. X₂ = X\X₂, которое запишем в виде прямой суммы

Пусть элементы множества X₁, как множество различных явлений, объедены общим свойством (признаком) Y₁, а элементы его ортогонального дополнения объедены признаком Y₂. Очевидно, эти свойства можно отнести к внутренним характеристикам явлений, их качественным особенностям. Совокупность свойств A = {Y₁, Y₂} назовём атласом и на нём определим оператор M(Y_k): X -> X_k, k Î N = {1; 2}. Поскольку

то оператор M обладает селективными свойствами и определён в кольце

с единицей Ix = x Î X, а на множестве X задаёт левый K-модуль [14].

Пусть величина a принимает значения нуль или единица. Перепишем расслоение x в виде

полагая, что если при наблюдении явления x с достоверностью наблюдаем явление x₁, то a = 1; если при наблюдении за x с достоверностью наблюдаем x₂, то a = 0. Отсюда следует, что в пространстве X два наблюдения разделены длиной отрезка [x₁, x₂] и их наблюдения отображаются в сознании как качественный и количественный скачок. На временной шкале эти наблюдения разделены длительностью временного интервала T = [t₁, t₂] между наблюдениями x₁ = x(t₁) и x₂ = x(t₂) и тоже сознанием воспринимаются как качественный и количественный скачок.

Можно поставить вопрос: "А что было между наблюдениями?". Если получим ответ, что ничего, то можно сказать, что из ничего нечто не появляется и что эти явления связаны, по крайней мере, всеобщей связью. Но, если интервал длины или длительности достаточно мал, то можно заключить, что явление x₂ получено из явления x₁ в результате эволюции некоторого явления x, т.е. это два состояния одного и того же явления, и с определённой вероятностью утверждать, что x = x(a), где a Î [0; 1]. Таким образом, коэффициент a связан с вероятностью наблюдения явления x Î X, заключённого между явлениями x₁ и x₂. Это утверждение положено в основу квантовой механики – одного из важнейших разделов теоретической физики и названо принципом суперпозиции состояний [16]. Принцип суперпозиции говорит о том, что если известны результаты двух наблюдений, разделённых, например, некоторым интервалом длительности, то с определённой вероятностью можно предсказать результаты наблюдения, которые были бы получены в любой точке данного интервала. И эти результаты определяются в виде средневзвешенных величин наблюдённых явлений. С другой стороны, опираясь на принцип суперпозиции можно с определённой степенью достоверности прогнозировать результаты наблюдений. По существу, можно отметить, что практически все результаты различных заключений в психологии, экономике, социологии, правоведении, криминологии опираются на средние, относительные, величины. Здесь законы суть законы статистического характера. Это означает, что они относятся не к одному индивидууму, не к одному наблюдению, а к их совокупности; т.е. "они не могут быть подтверждены измерением, проделанным над отдельным индивидуумом, а подтверждаются лишь серией повторных измерений" [17]. Из последнего утверждения следуют соотношения неопределённости.

Величины x₁ и x₂ как явления определяются формой и содержанием и, следовательно, представимы в виде

Здесь Y₁ и Y₂ – основные, базовые признаки качества явления. Они играют роль масштабных единиц качества. Если принять исходные величины x₁ и x₂ за масштабные единицы пространственного измерения выделенных качественных признаков явления, то следует отметить, что будем иметь

Такие явления назовём "чистыми" состояниями измерений.

Каждому качественному признаку в пространстве измерений можно поставить в соответствие числовую ось, на которой количественные значения данного качества являются линейно квантованными, т.е. следуют друг за другом, а чистое состояние играет роль масштабного единичного вектора координатной оси, отвечающей соответствующему качеству, т.е. выполняет функцию измерения длины в пространстве.

Предположим, что в наблюдении некоторого явления его состояния x₁ и x₂ следуют друг за другом. Тогда их можно различить на шкале длительности. Пусть x₁ = x(t₁) и x₂ = x(t₂). Введём интервал T = [t₁, t₂], t₂ > t₁, длительности и отобразим его преобразованием

на единичный отрезок I = [0; 1]. Отсюда можем заключить, что a - локальный параметр длительности между наблюдаемыми состояниями

Поскольку любое состояние можно представить как количественное содержание некоторого качества, то из условия

следует спектральное представление признака агрегатного состояния

где спектральные базисные собственные функции качества Y_j фиксированы, а спектральные собственные значения состояния l^j = l^j(a) зависят от локального параметра длительности. В рассматриваемом случае это положительные величины

и, в случае их нормирования, данная функция качества состояния становится выпуклой линейной комбинацией [18] на множестве допустимых состояний X объекта наблюдения.

Расслоение состояния по базисным признакам качества позволяет говорить о "векторе состояния", который будем представлять в виде вектора-столбца и записывать в форме

Чистые состояния – это единичные базисные векторы состояний [8]

Здесь процесс наблюдения отмечается в виде дихотомической структуры. В общем случае размерность вектора наблюдения такова, какова степень свободы объекта наблюдения x на множестве X его допустимых состояний. Если Card X = n, то можно построить n независимых качественных признаков Y_j, j Î N = {1, 2, …, n} и, соответственно им, n единичных базисных векторов состояния

В пространственно-временной структуре состоянию отвечает функция качества Y(a), спектральное представление которой описывается выпуклой линейной комбинацией элементарных признаков. Коэффициенты функции качества, определяют долю присутствия надлежащего элементарного признака и связаны с вероятностью обнаружения этого признака в текущем состоянии наблюдаемого явления. Предположим, что в системе элементарных признаков наблюдается величина x. Запишем наблюдения в табл.1.

Таблица наблюдения		Наблюдения
Таблица наблюдения		x₁ x₂ . . . x_i . . . x_n
Признаки наблюдения	Y₁ Y₂ … Y_j … Y_m	a¹₁ a¹₂ . . . a¹_i . . . a¹_n a²₁ a²₂ . . . a²_i . . . a²_n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a^j₁ a^j₂ . . . a^j_i . . . a^j_n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aⁿ₁ aⁿ₂ . . . aⁿ_i . . . aⁿ_n

Будем рассматривать множество состояний наблюдений X как аффинное пространство. В этом пространстве не фиксируется точка начала системы координат. На аффинном пространстве отображением

зададим группу параллельных переносов, где сумма точек не определена, а их разность x =x' - x существует и рассматривается как вектор перехода от состояния x к состоянию x'. Пространство X называется присоединённым векторным пространством к данному аффинному пространству [19]. Часто на практике пространства X и X отождествляются, т.е. полагают пространство X векторным.[2]

Рассмотрим два множества X и Y допустимых состояний некоторого объекта наблюдения и на элементах этих множеств определим бинарное соответствие

Допускаем, что множество Y может быть подмножеством множества X, либо совпадать с ним. График gr k = K соответствия устанавливает бинарные отношения (x, y) между элементами x Î X и y Î Y данных множеств. На области определения графика зададим меру m(x, y). Мера сопоставляет элементы одного множества с элементами другого множества. Элементы множества Y будем считать эталонами. Тот факт, что элементу x Î X ставится в соответствие эталон y Î Y, запишем в виде композиции

Определённую так меру расширим на каждое множество, что определит метрические пространства (X, m) и (Y, m), и введём обозначения

При y = Y и x = qY, где q Î R, из условий x = Yq и m(x, y) > 0 следует

Для левой части этого неравенства введём обозначение G(x, y). Получаем метрическое тождество

которое в метрической форме реализует единство качества и количества, и которое, по существу, является тождеством Пифагора,

В общем случае явление x Î X будем рассматривать как тензорную величину [20], а его представление x = AY - как тензорное произведение. В таком представлении меры величина y*: X -> K будет осуществляющим тензорную свёртку функционалом. Множество всех таких ограниченных функционалов на X обозначим Y* и назовём сопряженным пространством. Если y = BY, то ему сопряжённый элемент пространства Y* запишется в виде y* = Y*B*. В данных обозначениях метрический функционал принимает вид

и интерпретируется как среднее значение оператора W. Определяя

как тождественный оператор, т.е. Y - как чистое состояние в силу нормирования эталона m(Y, Y) = 1, приходим к соотношению

Введённая ранее операторная функция M – функция плотности [21], которая на чистом состоянии равна тождественному оператору, определённая на состояниях будет равна её значению на операторах этих состояний. Действительно,

основное метрическое тождество на допустимых состояниях объекта эквивалентно аналогичному тождеству, определённому на их операторах наблюдения – матрицах плотности[3]

Любая m-мера (в том числе и хаусдорфова), заданная на аффинном множестве наблюдений X, превращает множество наблюдений в топологическое пространство. Однако, как показано в работе [22], существует единственная топология, которая обращает его в топологическое векторное пространство. Эта топология индуцируется любой евклидовой метрикой, определяемой как

- скалярное произведение, вводимое на X´X с помощью симметричной положительно определённой билинейной формы с матрицей плотности W. Если в качестве эталона рассматривать среднее значение наблюдений, то отсюда получаем все основные статистические характеристики такие, как дисперсию, ковариацию, детерминацию, вариацию, коэффициенты корреляции, вариации, моменты и т.п. [23].

Из основного метрического тождества следует, что каждая выбранная точка y Î Y определяет свою карту Y Î A, из атласа карт A (свою систему координат с характерной евклидовой метрикой), построенную на пространстве X, превращая его в многообразие и определяя на нём риманову структуру (X, m). С другой стороны, в силу основного метрического тождества, выбор евклидовой меры на X определяет на нём симплектическую структуру, т.е. векторное пространство (X, n) с кососкалярной метрикой n [24].

Если рассматривать D = s² = D(x)D(y) как меру на бинарном соответствии k, то легко увидеть, что она факторизуется комплексозначным метрическом функционалом

так, что меры сходства и различия, входящие в тождество, связаны равенствами

Величина h служит масштабным коэффициентом связности симплектического и риманова пространств и при малом качественном отличии объекта от эталона (m >> n) имеет место соотношение

Новый метрический функционал удовлетворяет волновому уравнению Шредингера

При этом длину эталона всегда можно выбрать так, что s = 1, т.е. F = q.

При медленно меняющейся амплитуде H » ¶_tq = hw = E уравнение интегрируется. В этом случае получаем решение

то решение системы, находящееся в стационарном состоянии (в случае сохранении значения параметра E = hw x для t Î T), принимает вид

В динамическом варианте параметр E можно интерпретировать как приобретаемую объектом энергию при его переходе с одного качественного уровня на другой под действием импульса p. Постоянная интегрирования C определяется нормировкой метрического функционала. Её можно считать равной единице.

Рассмотрим динамику объекта с n степенями свободы. Его эволюцию опишем, по крайней мере, трижды дифференцируемыми по параметру уравнениями x = x(s), зависящими от натурального параметра s = s(t) кривой. Зафиксируем на кривой точку x_o = x(0), в окрестности которой уравнения разложим в ряд Тейлора и воспользуемся формулами Френе для выражения производных координат через геометрические параметры кривой. Удерживая три главных члена разложения, получим представление

Здесь Y_i , i = 1, 2, 3, параметры качества: векторы скорости, нормали и бинормали кривой в фиксированной точке, соответственно, которые в окрестности этой точки определяют естественный трёхгранник Френе; k и c - кривизна и кручение траектории в точки - это геометрические параметры кривой. Такое агрегирование определяет проецирование пространства X_n в подпространство X₃.

будет единичным вектором скорости кривой в точке x = x(s) достаточно малой окрестности фиксированной точки, в которой коэффициенты s^j определяют доли вклада соответствующей составляющей, а их квадраты p^j = (s^j)² характеризуют вероятности обнаружения этого вклада.

Фиксировать положение единичнеого вектора скорости в данной системе координат можно двумя полярными углами q и j так, что его координатами будут величины

Здесь угол q характеризует кривизну кривой в окрестности фиксированной точки, и определяется поворотом Y₂ нормали (или касательной плоскости x_oY₁Y₃) к кривой в точке x_o при переходе текущей точки в точку x, а угол j характеризует скручивание кривой и определяется поворотом вектора бинормали Y₃. Получаем, что переход объекта из одного состояния в достаточно близкое состояние можно интерпретировать галилеевыми преобразованиями координат, т.е. представлять эволюцию в виде наложения равномерного движения, сдвига начала отсчёта системы координат и поворота осей координат. Именно поворот системы координат с геометрической точки зрения характеризует происходящие качественные изменения, которые и фиксируются двумя полярными углами.

Основное метрическое тождество показывает, что состояние системы наблюдения (объекта) полностью описывается двумя и только двумя диалектически связанными характеристиками, выражающими сходство и различие поведения объекта и эталона (системы слежения) с помощью одной комплекснозначной функции. Эта функция удовлетворяет волновому уравнению Шредингера, что означает, что знание описания состояния объекта (с помощью данной функции) в текущий момент времени по отношению к поведению эталона определяет его поведение по отношению к поведению эталона и во все последующие моменты времени. При этом одно и то же бинарное отношение этих систем характеризуется множеством индикаторов соответствия, которые определяются одна через другую посредством монотонных функций. Эта многовариантность индикаторов бинарного соответствия позволяет подобрать новую критериальную функцию соответствия, дуальную функционалу сходства. Такой функцией будет оператор плотности. Естественно, если рассматривать такой оператор в координатном галилеевом пространстве, то он должен определяться модулем отклонения состояния одной системы от другой (модулем скорости эволюции) и направлением этой эволюции, которое можно задать двумя полярными углами. Если следить только за качественными изменениями, то модуль можно считать равным единице, т.е. вектор состояния полагать нормированным и комплекснозначным. В таком случае вектор состояния будет иметь только две составляющие.

Тогда величина оценки будет собственным значением оператора M, соответствующим собственному вектору u

Поскольку вектор u имеет две составляющие, то оператор M будет являться невырожденной квадратной матрицей второго порядка, имеющей два различных собственных значения. Поставим собственным значениям в соответствие ортонормированные собственные векторы такие, что собственному значению +1 отвечает собственный вектор u₊, а собственному значению -1 отвечает противоположный собственный вектор u_-. Эти условия определят оператор

Причём, связь между оператором и его "декартовыми компонентами" такая же, как между обычным вектором и его проекциями в декартовой системе координат:

где компонентами s_j выступают матрицы Паули

которые заменяют касательный вектор, вектор нормали и вектор бинормали, соответственно, в геометрической интерпретации динамики в пространстве R³.

Если связать параметр кривой с временным фактором, то можно утверждать, что вероятность обнаружить объект в состоянии u, если он в начальный момент находился в состоянии u_o, будет равна

Таким образом, оценка нормы вектора u связывается с оценкой соответствующего ему оператора плотности M. Если же среднее значение оператора плотности взять за его норму в соответствующем пространстве, то приходим к равенству

Оператор s = 1/2M называется спином, а матрица плотности спина обычно обозначается символом s, т.е. s = M. Норма спина равна ½, а сам он показывает некоторую ориентацию в заданном базисе.

Если перевести это в социальную или экономическую плоскость и рассматривать задачи с позиции теории поля, то можно отметить, что субъект как носитель направленного действия (в самом широком понимании этого явления) существует в некоторой внешней среде. Внешняя среда непосредственно с ним может не вступать в физический контакт, но создаёт объективные условия для действия субъекта. Интеллектуально-волевые, организаторские, нравственные качества субъекта не всегда отвечают объективным условиям, которые создаются для их формирования внешней средой. Внешняя среда ограничивает степень свободы субъекта. Возникают диалектические противоречия между свободой и волей субъекта. Двойственность ситуации заключается в том, что с одной стороны, поле "желает" ориентировать действия субъекта в своём направлении, с другой - субъект "желает" реализовать свою "волю". Создавая определённую напряжённость в этой среде, поле отклоняет вектор "желаемого" поведения субъекта. Субъекту не всегда удаётся выдержать необходимую ориентацию. В результате "осознанной" необходимости появляется отклонение в ориентации субъекта по отношению к объективной ориентации поля – спин. Это отклонение является сугубо внутренней мотивацией субъекта, его качественными принципами и установками. Относительно вектора напряженности поля проекция вектора поля на направление ориентации субъекта может быть как положительной, так и отрицательной, которым можно дать положительную характеристику (+1) и характеристику отрицательную – (-1). Например,"человек в своём поведении, прежде всего, основывается на собственном внутреннем убеждении – что правильно, а что нет, "справедливо" или нет, и только потом опирается на законодательство, действующее в обществе. Зачастую собственные убеждения человека вступают в конфликт с действующим законодательством". Другим примером проявления спина может служить оценка отклонения фактического состояния x некоторого объекта от планируемого y, когда качество фактического состояния не отвечает желаемому качеству.

Естественно в основу метрики при сопоставлении направлений векторов положить скалярное произведение µ = y^*x. Поскольку задача сопоставление амплитуд s_x и s_y данных векторов решается достаточно просто, то возникает проблема сопоставления состояний по качественным признакам, их ориентаций, т.е. задача сравнения направлений их масштабных векторов, которые и примем за x и y, полагая их модули равными единице. Задачу можно интерпретировать следующим образом.

Представим, что объект из одного допустимого состояния y переходит в другое допустимое состояние x. Происходит качественный скачёк, индуцируемый некоторой функцией активации внутренних параметров данного состояния, структурными сдвигами. Геометрически этот переход представим непрерывным процессом поворота системы координат в пространстве X, построенной в виде подвижного многогранника Френе. Ограничиваясь ускорениями первого порядка, получаем систему координат как естественный подвижный трёхгранник Френе, в котором вектор y определяет одну из координатных осей и в которой вектор x фиксируется двумя полярными углами q и j так, что его можно рассматривать в качестве единичного комплексного вектора x = [a; b] = [cos q /2; e^ij sin q /2]. Если записать квадрат меры |µ|² = y^*M(x)y, то приходим к заключению, что матрица плотности P(x) = [aa⁺ ab⁺; ba⁺ bb⁺] описывает чистое состояние x, т.к. P² = P . Поскольку орбитальный момент отсутствует, то представим его тождественным оператором I, а поворот вектора y определим спином s = ½M = ½s. Тогда матрицу плотности P, определяющую полный момент объекта со следом равным единице, можно записать в виде

Условие P² = P будет выполняться, если ||x||² = 1. Компоненты вектора x в исходной системе координат определяются через его компоненты a и b по формулам:

С помощью матрицы плотности можно рассматривать системы, которые не приводятся к "чистым состояниям" как, например, динамический вариант объектов финансовой системы. Здесь значения наблюдаемой величины A усредняются по её возможным квантовым состояниям (например, банкам). Полученные же средние величины a_k усредняются по всему ансамблю данных a = p^ka_k. Величины p^k определяют вероятности обнаружения средней величины a_k в данном ансамбле и в сумме равны единице. Последнее даёт возможность ввести обобщённую матрицу плотности P = p^kP_k, след которой равен единице и a = Sp(PA), но для которой условие P² = P уже выполняться не будет.

Существование любого субъекта экономической природы невозможно рассматривать вне какой-либо среды. Для существования экономического субъекта необходима экономическая среда, т.е. существование других экономических субъектов, которые вместе вырабатывали бы правила взаимодействия, регламентирующие поведение каждого элемента этой среды и их организаций. Эти правила, воздействуя на субъект, ориентируют его в определённом направлении приложения усилий в данной сфере экономической деятельности. Естественно, что с позиции "правил" такая ориентация может рассматриваться как положительной, так и отрицательной. В таком случае говорят, что субъект попадает в поле определённой экономической активности, силовое поле, которое опосредованно оказывает силовое воздействие на данный субъект и в котором он принимает в силу внутренней своей специфики ту или иную ориентацию относительно действия объективных условий. Для этого каждый элемент этой системы следует рассматривать не только как элемент (точку) некоторого аффинного множества, но и рассматривать возможность прикрепления к каждой такой точки вектора направления возможного "перемещения", возможной ориентации, присоединённого векторного пространства, которое фиксирует точку и вводит систему отсчёта.

Совершенно аналогичные рассуждения можно привести и в отношении социальной среды с социальным силовым полем (определённой напряжённости). Последнее действует на отдельные личности, их неорганизованные массивы, различного рода организации (толпу, группу, коллектив), ориентируя их эволюцию в определённом направлении.

Воздействие внешнего силового поля на поведение субъекта рассмотрим на простейших примерах. Будем считать, что субъект находится во внешнем стационарном силовом поле заданной напряжённости b = [b; 0; 0] , а его динамика описывается в подвижной системе координат Френе. Эволюцию опишем уравнением Шредингера, полагая, что вектор состояния имеет дихотомическую структуру u = u(t) = [x(t); z(t)], а его начальное значение задаётся выражениями

Гамильтониан, определяющий силовое поле, представим в виде

Поскольку в рассматриваемой кинематической модели не учитывается орбитальный момент, то оператор m будет зависеть только от структурных, качественных преобразований субъекта, т.е. будет спиновым силовым моментом

где величина g гиросилового отношения спинового момента определяется качественными характеристиками субъекта, а оператор

задаёт его ориентацию и выражается посредством оператора спина, связанного с оператором плотности

Для правой части уравнения Шредингера получаем выражение

является угловой скоростью Лармора, характеризующей прецессию объекта вокруг направления вектора силового поля. Решением уравнения Шредингера будут функции

Это свидетельствует о том, что среднее значение спина, имеющего в начальный момент t = 0 направление q = q(0), j = j(0), прецессирует вокруг направления внешнего силового поля с частотой 2w_L.

Рассмотрим, теперь, спиновой силовой момент m = gs во внешнем силовом поле

которое представлено наложением двух силовых полей: поля

направленного по координатной оси e₁ в положительном направлении

вращающегося в плоскости e₂, e₃ по часовой стрелке с угловой скоростью

В этом случае гамильтониан будет равен сумме слагаемых

Учитывая, что операторами спина в исходном состоянии являются матрицы Паули, а компонентами вектора B₁ являются величины 0, cos(wt) и – sin(wt), находим

Исключая из первого уравнения вторую компоненту, приходим к линейному дифференциальному уравнению второго порядка относительно первой компоненты

u²(t) = C₁(W₁ /w₁) exp(-i(W₂ /2)t) + C₂(W₂ /w₁) exp(-i(W₁ /2)t).

Здесь C₁ и С₂ – произвольные постоянные. Если предположить, что в момент t = 0 спин с достоверностью имел на ось e₁ проекцию +1, т.е. u(0) = u₊ =[1 0] (= (1, 0)'), то определим

можно определить вероятность переворота спина, т.е. вероятность обнаружения у субъекта противоположной динамики, где

показывает вариацию отклонения от исходного состояния.

С изменением поля меняется оценка социальной активности субъекта. "Герой" легко может превратиться в "злодея" и в литературе и в жизни можно найти достаточно много тому примеров.

Разум отдельного субъекта и свобода его выбора в пространстве осознанной необходимости дают ему возможность созидать своё будущее в поле социальной активности, созданного социумом субъектов. Человек рождается с определённой генетической основой к формированию "внутреннего стержня" – той нравственной основы, которая и определяет возможность этого созидания. И хотя в последующей его эволюции у него формируются свои внутренние убеждения – что правильно, а что нет, он не свободен поступать так, как ему заблагорассудится. Его свобода уже заканчивается там, где начинается свобода другого. Социум формирует свободу личности как осознанную необходимость. Естественно, что любой индивид социума может в силу своих внутренних убеждений полагать, что является в данный момент справедливым, а что несправедливо и только потом рассматривать законы, установленные в данном обществе. Именно нравственные законы закладываются в основу действующего в обществе законодательства как гарантии существования социума. В любом обществе вряд ли можно ожидать абсолютной свободы. Между внутренними убеждениями личности и социальными законами всегда можно найти расхождения, т.е. существует спин a₊. Если же есть спин положительной ориентации, то есть вероятность существования спина и противоположной ориентации a_-, т.е. имеется вероятность обнаружения в данном социуме личности, чьи интересы вступают в конфликт с социальными законами. И совсем не обязательно, что у такой личности отсутствует нравственность, из которой при невежестве формируется "дикарь", а при наличии просвещения - формируется "злодей". Из предыдущего следует, что особенно велика вероятность социального расслоения при различного рода, "поворотах" социальной динамики.

Между социальными (экономическими) и физическими метрическими параметрами существует тесная связь. Эту связь можно установить из метрического треугольника ABC, который составляет осевую линию и образующие конической фигуры, представленной на рис.1 . Стороны треугольника ABC определяют физические параметры системы (x, y): сторона AB = T характеризует её живую, CB = V - потенциальную энергию; сторона AC связана с энергетической функцией Лагранжа L. Если y - чистое состояние, то можно полагать, что во внутреннем треугольнике AOC стороны OC = J = n и AO = I = µ определяют соответствующие метрические функции расхождения и сходства, где I и J - индексы статистики, индекс структурных сдвигов и индекс переменного состава; сторона AC = L = s. Внутренний треугольник AOC определяет основное метрическое тождество s² = µ² + n² экономического смысла, из которого следует метрическая функция F = Us, где унитарный оператор U = exp(-iq /h) задаёт структурные сдвиги.

Рис. 1. Связь экономических и физических метрических параметров.

Из метрического тождества получаем симметричное отношение между экономическим и физическим смыслом задачи

где L = T - V = s exp(-M/h), M = h Arth V/T. Сопряжённая величина L* = T + V = E = s exp(M/h) определяется как полная энергия системы.

Как видим, коническое представление фигуры (рис.1) вытекает из метрических свойств основных универсальных характеристик материи в любой форме её самоорганизации, которые одинаково существенны и взаимно дополнительны. Внешняя количественная характеристика представлена метрической осью AB. На этой оси количественные собственные характеристики T_k и I_k равномерно линейно квантуются последовательностью целочисленных порядковых индексов k = 0, 1, 2, ... . Качественная характеристика представлена вектором вращательной симметрии OC. Её значения циклически квантуются величинами M_k и q_k - дугами окружности, лежащей в ортогональной плоскости к количественной оси AB, и, следовательно, эволюция системы на её высшем агрегационном уровне представима в трёхмерном основном координатном пространстве. Из рис.1 следует, что "при этом всё определяется именно дифференциальной внутренней качественной характеристикой с циклически квантованными последовательными собственными значениями" [7,стр. 45].

Метрические функции социальной и физической задач удовлетворяют своему уравнению Шредингера

из которых следует связь между их основными метрическими параметрами:

Если воспользоваться матричным представлением комплексного числа

где E = [1 0;0 1], I = [0 -1; 1 0] - матрицы, удовлетворяющие свойствам:

то этим метрическим параметрам можно придать матричный вид

Последнее устанавливает изоморфизм между математическими методами решения задач в квантовой физике [32] и алгоритмами решения задач социально-экономической сферы - экономики, управления, социологии, психологии, криминологии и т.п., т.е. задач, которые опираются но методы использования средних величин. По существу, методы квантовой физики суть удачное использование математического аппарата анализа средних для решения естественнонаучных задач. Поэтому при использовании методов квантовой физики в указанных выше дисциплинах следовало бы употреблять приставку не физики, а математической статистики, или просто статистики. Например, новую экономическую дисциплину эконофизика (наука, которая применяет методы квантовой физики к решению экономических задач) называть статистической экономикой. Изоморфизм позволяет при анализе социальных задач не только формально использовать физические параметры, но и применять аналитические физические методы [25], например такие, как методы матричной квантовой механики [26]. С другой стороны, данные соотношения дают возможность связать, например, теорию индексов [27, 28], применяемую в практике экономического анализа, с операторной алгеброй [29], которая, в свою очередь, является аппаратом статистической квантовой механики.

Следует отметить, что если в экономическом анализе лежит функция F = µE - nI, которая опирается на метрическую функцию риманова пространства µ, построенную на векторах x и y, функцию сходства, как правило, в виде скалярного произведения, и которая в задаче экономической статистики может выступать в роли индекса переменного состава, то функция Лагранжа L = nE + µI опирается на меру расхождения n, меру симплектического пространства, факторами которой являются структурные сдвиги, а, следовательно, она существенно опирается на пространственную ориентацию эволюции системы. Выражение её реальной части n = G¹^/2 определяется посредством определителя Грама G, что с геометрической стороны характеризуется как объём параллелепипеда, построенного на данных векторах в пространственной системе координат [30, стр. 216].

Основное метрическое тождество обобщается на случай оценки процессов, описание которых даётся тензорными величинами. Пусть, например, определено тензорное пространство X = XÄXÄ ...ÄX и x, y Î X. Зададим соотношением D(x) = G(x) тензорную свёртку и продолжим её на вне диагональные элементы, т.е. введём меру µ(x, y) так, что µ(x, x) = D(x). Тогда на элементах пространства X определяется основное метрическое тождество, что даёт возможность тензорного сравнения, например, сопоставлять тактическое достижение стратегической цели одного исхода с тактическим достижением стратегической цели при другом исходе в динамическом аспекте.

Соотношение между параметрами физической и социальной задач показывает, что параметры этих задач различаются лишь фазовым сдвигом на величину p/2 - диаметрально противоположной спиновой характеристикой. Например, L = IF = s exp(q/h - p/2). Таким образом можно утверждать, что физик и экономист, хотя при проведении анализа опираются на одни и те же средние величины, используют выводы в диаметрально противоположных плоскостях. Когда физик, сравнивая некоторые процессы, утверждает, что они протекают качественно подобно, поскольку вероятность их качественного отклонения ничтожно мала (равна нулю), экономист, наблюдая эти же самые процессы, говорит, что они качественно подобны, поскольку их взаимная детерминация максимальна (коэффициент корреляции равен единице). Такое спиновое отличие даёт возможность утверждать, что физик и экономист друг для друга "злодеи".

Алгоритмическая связь между решением физических задач и решением задач социальной природы очевидна. Сведём, например, основную задачу теории индексов [31] к решению физической задачи для простого гармонического осциллятора [26]. Предположим, что некоторая фирма, получив доход D = pq в текущем периоде, желает сравнить его с доходом D_o = p_oq_o в некотором прошлом периоде. Примем прошлый период за базисный. Намериваясь применять в расчётах индексы Ласпейреса, в качестве меры возьмём стоимость продукции в текущем периоде в ценах базисного периода m = p_oq. А рассматривая цену продукции в качестве импульса продаж и ограничиваясь линейной зависимостью, положим справедливым равенство q = Ap. Если расчётный период невелик, то можно принять выполнение условия q_o = Ap_o. Тогда метрическая функция будет иметь вид m =p_oAp = m(p, p_o). При этом D_o = m(p_o, p_o), D = m(p, p). Поскольку D_o и D не равны m, то приходим к основному метрическому тождеству, где s = D_o^1/2D^1/2, и к метрическому равенству D(p) = HE. Здесь введены обозначения для гамильтониана H = ½(I_q² + J_q²) = ½I_pq и элементарной единице измерения E = 2D_o, где I_q = p_oq/p_oq_o – индекс продаж Ласпейреса, J_q – индекс структурных сдвигов продажи продукции в текущем периоде по отношению к базисному периоду, I_pq = pq/p_oq_o – индекс товарооборота. Получаем задачу на собственные значения для одномерного гармонического осциллятора. Отсюда находим, что если в качестве единицы измерения на рассматриваемом интервале принять кратную величину минимального дохода E = 2D(p_o)/k = wh , то колебания продаж можно отслеживать по квантованному показателю [26, стр. 64] "энергетического" уровня фирмы E_j = (j – ½)hw.

Естественно, поскольку мы применяем аппарат квантовой механики, получить соотношение неопределённости Гейзенберга. Данное соотношение непосредственно следует из теории среднего для операторов Q и P и матричного коммуникационного соотношения Гейзенберга для этих операторов

Для этого определим метрическую функцию Y и меру µ так, что µ(Y, Y) = 1, вычислим средние значения операторов q = Y*QY, p = Y*PY и введём величины x = (Q - q)Y и y = (P - p)Y, характеризующие отклонения операторов от их средних. Очевидно,

Рассмотрим выражение D(x) + a² D(y), где величина a является действительным числом, и введём величину A = Ex + Iay. Тогда, в силу соотношения Гейзенберга, приходим к неравенству

Левая часть достигаем минимума при a = D(x)/D(y), для которого предыдущее неравенство принимает вид

и которое показывает, что если две переменные величины связаны одной и той же метрической функцией, то отклонение от средней будет увеличиваться по мере уточнения отклонения от средней другой величины. Для осциллятора в основном состоянии произведение флуктуаций переменных будет достигать своего минимума, т.е.

Установленный изоморфизм между физическими и экономическими моделями задач в работе [32] продемонстрирован на примерах игровых задачах математической экономики и задаче о коллапсе рынка подержанных автомобилей [33].

Рассмотрим, например, матричную игру игроков A и B с матрицей W выигрышей игрока A. Если стратегии игроков определить векторами x и y, соответственно, то выигрыш игрока будет определяться как среднее значение оператора W: w = µ(x, y) = y*Wx, а оптимальный выигрыш определиться величиной w_opt = max_xmin_yw. В силу линейности функционала µ задача сводится к решению задачи линейного программирования.

3. Структура интеллекта взрослых / Под ред Е.И. Степановой. СПб., 1979.

4. Хайкин С. Нейронные сети /М.,С.-Петербург, Киев, 2008.

6. Ленин В.И. Материализм и эмпириокритицизм /Полн. Собр. соч, т.18.

7. Идлис Г.М. Единство естествознания по Бору и единообразные взаимосвязанные периодические системы физики, химии, биологии и психологии /Исследования по истории физики и механики, 1990 //М., Наука, 1990.

8. Кемпфер Ф. Основные положения квантовой механики /М., 2007.

9. Кузьмин В.Б. Эталонный подход к получению нечётких отношений

предпочтения /Нечёткие множества и теория возможностей //М., 1986.

10. Швингер Ю. Квантовая кинематика и динамика /М., 1992.

11. Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970.

12. Гегель В.Г. Энциклопедия философских наук. М., 1974.

13. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии /М., 1989.

14. Скорняков Л.А. Элементы алгебры /М., Наука, 1986.

16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика /М., 1988.

17. Энштейн А., Инфельд Л. Эволюция физики /М., 1965.

20. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление /М., 2001.

23. Брандт З. Статистические методы анализа наблюдений /М., Мир, 1975.

26. Грин Х. Матричная квантовая механика /М., 2009.

27. Кёвеш П. Теория индексов и практика экономического анализа /М., 1990.

28. Адамов В.Е. Факторный индексный анализ /М., 1977.

29. Браттели У., Робинсон Д. Операторная алгебра и квантовая статистическая механика /М., 1987.

32. Lambertini L. Quantum Mechanics and Mathematical Economics are Isomorphic /Department of Economics University of Bologna,2000.

33. Пиндайк Р., Рубинфельд Д., Микроэкономика /М., 2000, гл. 5,17.

[1] Здесь для удобства записи используется обозначения матриц и вектора-столбца матричная форма представления MATLAB [16]: x = [x¹; x²; …; xⁿ] .

[2] В дальнейшем основное пространство и присоединённое пространство, без особого пояснения, можно отождествлять.

[3] На возможность описания состояния системы с помощью матрицы плотности впервые указал Л. Ландау [20].

В данном разделе представлены темы: