Приложения

Таблица 1. Итоги деятельности банков Ростовской области на 01.07.04 (тыс. руб.)

Таблица 2. Итоги деятельности банков Ростовской области на 01.07.04 (тыс. руб.)

Таблица 3. Итоги деятельности банков Ростовской области на 01.01.06 (тыс. руб.)

Таблица 4. Итоги деятельности банков Ростовской области на 01.01.06 (тыс. руб.)

Таблица 4. Оценка факторов в пространстве l₂.

Таблица 5. Оценка объектов системы в пространстве l₂.

1. Оценим его строки и столбцы в пространстве последовательностей, суммируемых с квадратом. Для оценки столбцов составляет квадратную матрицу A'*A, для оценки строк – матрицу A*A' , и находим их собственные значения и собственные векторы

2. Вычисляем норму матрицы. Для этого находим наибольшее собственное значение (а они для данных матриц равны) и вычисляем из него квадратный корень

4. Находим отвечающие наибольшему собственному значению собственные векторы. Эти векторы будут иметь неотрицательные либо неположительные значения. Берём их неотрицательные значения.

5. Находим оценки строк q и столбцов p в абсолютном выражении

Например, нормированный вектор относительных оценок строк матрицы в пространстве l₂ имеет вид

Вычисления показывают, что оценки рядов различаются на порядки. Поэтому, для того, чтобы при дальнейшем анализе состояния объектов сделать соизмеримыми оценки факторов, разделим все строки матрицы на абсолютную оценку факторов (столбцов).

Нормируем все строки полученной матрицы в пространстве l₂ для построения матрицы корреляций строк в этом пространстве

даёт оценки строк матрицы A в пространстве l₂. Найдём оценки строк данной матрицы в пространстве l₁.

Ниже представлена матрица относительных оценок и соответствующих ранговых оценок в пространстве l₁

А здесь представлена аналогичная матрица оценок в пространстве l₂

Ниже формируется матрица сравнения оценок в пространстве l₁ и l₂. (Третья строка).

Все направляющие векторов-строк попадают в положительный шаровой сектор единичного шара с центром в некоторой точке a. Концы этих векторов лежат на граничной сфере S единичного радиуса r. Предположим, что вектор z является направляющим вектором оси шарового конуса. Представим его в барицентрических координатах базисных векторов

Конец данного вектора также лежит на сфере S.

В основу определения оценки расхождения любых двух векторов, выходящих из центра сферы и проходящих через шаровой конус, можно положить множество различных критериев. Например, оценить длиной наименьшей дуги большей окружности сферы, проходящей через данные точки и лежащей между этими точками, оценить хордой, стягивающей концы этой дуги, сделать оценку по площади параллелограмма, натянутого на направляющие данных векторов и т.п.

Пусть d_ij – длина хорды, стягивающей две точки x_i, x_j Î S, а a_ij – длина дуги в радианах. По теореме косинусов

Но, левая часть последнего равенства суть коэффициент ковариации данных векторов, коэффициент сходства. Отсюда заключаем, что чем меньше хорда, тем больше сходство состояний, т.е. сходство и различие – антиномии, связанные некоторым тождеством. Для получения тождества найдём оценку бивектора, построенного на данных векторах

Из основного тригонометрического тождества, вводя соответственно меры сходства и различия объектов сферы

на объектах сферы, а умножая данное тождество на произведение дисперсий

где x, y произвольные элементы метрического пространства R, приходим к основному метрическому тождеству (которое представим тождеством Пифагора)

в котором внутреннее (скалярное) произведение векторов

характеризует меру их сходства, а внешнее произведение

Рассмотрим n-мерное аффинное пространство E. Произвольно выберем в нём некоторую точку a и в окрестности E_a этой точки зафиксируем точки x, x_o, y, y_o. Пусть в этой окрестности из точки x_o существует непрерывный путь в точку x, а из точки y_o – в точку y. Тогда можно соответствующие переходы записать в виде

где величины x и y будут элементами некоторого другого присоединённого к E_a пространства R. В пространстве E_a всегда можно ввести топологию, которая обращает присоединённое пространство в векторное пространство. Эта топология индуцируется любой евклидовой метрикой

где s(x) понимается как статистическая характеристика среднеквадратического отклонения состояния x от состояния x_o, а выражение

представляет дисперсию этого отклонения, которая вводится как внутреннее в R произведение

определяемое на R´R с помощью положительно определённой симметрической билинейной формы и которую символически будем записывать в виде

Таким образом, в основном метрическом тождестве реализуется единство таких диалектических антиномий как сходство и различие, качество и количество, форма и содержание и т.п.

Рассмотрим пространство B бивекторов. Учитывая свойства

и, если элементами векторного пространства присоединённого к евклидову пространству E_a являются векторы, которые геометрически можно интерпретировать как направленные отрезки прямой, то геометрической интерпретацией элемента пространства B будут ориентированные площади параллелограммов, натянутых на бинарные соответствия (x, y) векторов пространства R. Такое пространство называется симплектическим.

Как и в евклидовом пространстве в симплектическом пространстве мера прождается функцией

где s(b) – площадь соответствующего параллелограмма, а знак определяется ориентацией этой площади. Эта мера задаётся выбором евклидовой структуры в окрестности E_a Î E фиксированной точки a Î E на аффинном пространстве E, которое при надлежащем выборе точек a превращается в риманово многообразие. Действительно, при выборе функции m(x, y) имеем

и можно ввести метрику m(a, b) в пространстве B´B на бивекторах a, b с помощью расширения основного метрического тождества

где ядро представления является оператором со следующими конструктивными особенностями

Здесь M – некоммутативный билинейный оператор,

который в квантовой физике [1,2] определяется как произведение символов и несёт селективные свойства. Очевидно, если b = la, оператор M становится самосопряжённым и обращает оператор K в нуль, и наоборот, если K равен нулю, то M* = M.

Поскольку состояния объектов системы (банков) лежат в некотором конусе, а их качества характеризуются единичными векторами, исходящими из вершины этого конуса, то оценку качества можно сделать по положению соответствующего направляющего вектора относительно оси конуса.

Разложим направляющий вектор оси конуса по базисным векторам векторного пространства присоединённого к пространству состояния объектов системы. В барицентрических координатах a^j, j Î N, это разложение имеет вид

Тогда отклонение качества базисного вектора x_i от среднего качества системы z можно оценить функцией качественного сходства

где для коэффициента вариации базисных векторов введено обозначение

где R = ((r_ij)) – матрица коэффициентов ковариации, приходим к следующей задаче квадратического программирования

Предположим, что r = max (r_i: i Î N) решение данной задачи. Тогда подстановка

сводит предыдущую задачу максимизации к задаче минимизации

где введено обозначение для матрицы нормированных данных

Для решения задачи квадратического программирования воспользуемся функцией MATLAB quadprog .

решение получаем, если воспользуемся программой

Находим векторы b и lb, матрицу ковариации R = Cu = X*X' и записываем программу

максимальное расхождение базисных векторов от оси шарового сектора и вектор барицентрических координат

Находим вектор ковариации осевого вектора с векторами базиса и нормируем его

Распечатываем вектор ковариации с нумерацией компонент

Видим, что объекты под номерами 7, 12 и 17 наиболее удалены от среднего по системе. Напротив, объекты 1, 5,11, 14, 16, 21 составляют высоко коррелируемую со среднесистемным свойством подгруппу.

Закодируем именные характеристики объектов

По близости ковариации составляем первую группу

По ковариации составляем вторую группу объектов и строим их графики

plot(k,Xu(20,k),'K',k,Xu(8,k),'R',k,Xu(13,k),'B',k,Xu(16,k),'Y',k,Xu(18,k),'G',k,Xu(23,k),'M')

Отмечаем интересный факт: в системе есть объекты, деятельность которых антисимметрична

Ковариация равна по абсолютной величине, но противоположна по знаку.

Построим разреженную кавариационную матрицу и проведём её визуализацию

S=char(t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7,t8,t9,t10,t11,t12,t13,t14,t15,t16,t17,t18,t19,t20,t21,t22,t23)

legend('Центр-инвест','Рост. универсальный банк')

Группа по обслуживанию кредитов и вкладов.

plot(k,Xu(2,k),'k',k,Xu(7,k),'m',k,Xu(8,k),'c',k,Xu(9,k),'r',k,Xu(10,k),'b',k,Xu(18,k),'y')

title('Группа по обслуживанию кредитов и вкладов')

legend('Дон-Текс.','Донской НБ','Донхлеб.','Земельный КБ','Капиталбанк','Стелла-Банк','Таганрогбанк')

plot(k,Xu(1,k),'k',k,Xu(3,k),'g',k,Xu(4,k),'m',k,Xu(12,k),'c',k,Xu(14,k),'y',k,Xu(16,k),'r',k,Xu(17,k),'b')

legend('Волгодонский','Донактивбанк','Донбанк','Кр.Экспресс','Морозовск КАБ','РостПромстройбанк ','Сельмашбанк')

legend('Донинвест','Донкомбанк','ИБРР-банк','Южный регион','Юж.Торг.Банк')

Группа обслуживания активов и депозитов юрлиц

title('Группа обслуживания активов и депозитов юрлиц')

legend('МеТраКомБанк','Южный региональный банк')

8518 19525 29962 11805 2585 1020

39335 238800 208965 259751 0 1415

112292 339220 325336 74474 0 9341

72752 398294 380549 333962 37900 15246

273245 941288 663997 439605 69477 11007

119017 447899 172423 242600 30461 4278

176800 1152565 565993 1151970 51801 32143

131948 924995 649386 878202 79542 15698

9135 16779 29287 12110 278 301

46143 58796 57280 44853 0 460

72407 208041 463491 128062 25560 13572

166332 127513 147360 16 15000 7037

295910 1158421 1503462 461632 246303 50170

18289 25362 5613 715 0 1678

27364 144655 62926 104227 41500 506

203712 1386759 708463 730767 82318 13023

68240 187810 214768 33244 30700 7320

92641 519827 207510 237436 26359 9055

51079 91168 89802 38032 0 2199

2010119 10451969 5299464 4627355 3348602 501122

124737 392203 262416 312082 0 15874

162990 288606 272454 34792 144800 7470

title('Наиболее близкие к центру симметрии системы A2')

legend('Волгодонский ГКБ','Стелла-Банк','Южный регион')

СОЦИАЛЬНАЯ ФИЗИКА

к основам нерелятивистской квантовой экономики